Analyse numérique de schémas volumes finis à mailles décalées pour certains systèmes hyperboliques issus de la mécanique des fluides

Numerical analysis of staggered finite volume schemes for some hyperbolic systems in fluid mechanics

• Auteur / Autrice : Youssouf Nasseri
• Direction : Raphaèle Herbin, Jean-Claude Latché
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 29/03/2021
• Etablissement(s) : Aix-Marseille
• Ecole(s) doctorale(s) : École Doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Marseille (I2M) - Institut de Radioprotection et de Sûreté Nucléaire (Fontenay-aux-Roses ; 2002-2024)
• Jury : Président / Présidente : Antonín Novotný
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Charlotte Perrin, Robert Eymard
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Nicolas Seguin, Enrique Domingo Fernández Nieto

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équation de Heun

Équations d'Euler

Systèmes dynamiques hyperboliques

Modélisation CFD

Mécanique des fluides

Analyse numérique

Mathématiques

Mots clés libres

Équations d’Euler

Équations de Saint-Venant

Équation d’exner

Interpolation MUSCL

Schéma de Heun

Méthode de correction de pression

Maillages décalés

Analyse de consistance

Euler equations

Shallow water equations

Exner equation

MUSCL-Like interpolation

Heun scheme

Pressure correction scheme

Staggered discretization

Numerical analysis.

Résumé

Cette thèse s’inscrit dans la continuité de collaborations entre l’IRSN (Institut de Radioprotection et Sûreté Nucléaire) et l’I2M (Institut de Mathématiques de Marseille) sur le développement et l’analyse de schémas pour la résolution numérique de certains problèmes de mécanique des fluides. On propose une analyse d’un schéma numérique pour les équations Saint-Venant avec gradient de fond, avec un schéma de Heun en temps et un schéma MUSCL en espace pour des volumes finis sur grilles à mailles décalées. La stabilité du schéma est démontrée, ainsi qu’un résultat de consistance ''à la Lax'' pour un opérateur général de convection non linéaire sur maillages décalées, qui s’applique à tous les systèmes de lois de conservation. Des tests numériques sont effectués pour établir la validité du schéma. On s’intéresse aussi aux mêmes équations, mais avec un terme source qui modélise la force de Coriolis. La discrétisation MAC upwind est comparée à une discrétisation par éléments finis de type Rannacher-Turek avec une stabilisation qui permet de réduire la diffusion. Des résultats numériques permettent de comparer les deux schémas avec une résolution de type Godunov. Ensuite, on considère les équations de Saint-Venant en une dimension d’espace couplées avec une équation dite ''d’Exner'', qui modélise le transport de sédiment. Plusieurs formules de flux de sédiment sont étudiées. Les équations résultantes sont discrétisées par un schéma explicite en temps et un schéma à mailles décalées en espace. La deuxième partie est consacrée à la résolution numérique d’un modèle de simulation de déflagration turbulente régi par les équations d’Euler réactif

This thesis is a continuation of collaborations between IRSN and I2M on the development and analysis of discretization schemes for the numerical resolution of certain fluid mechanics problems. We propose an analysis of a numerical scheme for the shallow water equations with a gradient of the topography, based on a Heun scheme in time combined with a MUSCL scheme in space for finite volumes on staggered grids (MAC scheme). The stability of the scheme is proven, as well as a ''Lax consistency'' property. In addition, a lemma of consistency ''in the sens of Lax'' for a general operator of non-linear convection on staggered mesh grids is proved, which is applicable to all conservation law systems. Numerical tests are carried out to establish the validity of the scheme. We are also interested in the same equations, but with a source term that models the Coriolis force for modelling geostrophic flows. The MAC upwind discretization is compared to a Rannacher-Turek finite element discretization with a stabilization technique that reduces diffusion. Numerical results allow to compare the two schemes with a Godunov type solver. Then, the shallow water equations are considered in one dimension of space coupled with a so-called Exner equation, which models the sediment transport. A regularization of the friction law allows us to obtain an energy balance. Several sediment flow formulae already proposed in the literature are studied. The resulting equations are discretized by an explicit scheme in time and by a staggered scheme in space. The second part is devoted to the numerical resolution of a turbulent deflagration simulation model governed by reactive Euler equations