Sur le pouvoir d'expression des logiques définies par invariance

On the expressive power of invariant logics over sparse classes of structures

• Auteur / Autrice : Julien Grange
• Direction : Luc Segoufin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 29/06/2020
• Etablissement(s) : Université Paris sciences et lettres
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : École normale supérieure (Paris ; 1985-....). Département d'informatique
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation de la thèse : École normale supérieure (Paris ; 1985-....)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Équipe de recherche Valeur à partir des données (Paris)
• Jury : Président / Présidente : Cristina Sirangelo
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Luc Segoufin, Cristina Sirangelo, Anuj Dawar, Étienne Grandjean, Leonid Libkin, Mamadou Moustapha Kanté
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Anuj Dawar, Étienne Grandjean

Mots clés

Mots clés contrôlés

Informatique

Mots clés libres

Théorie des modèles finis

Invariance

Logique du premier ordre

Finite model theory

Order-invariance

Successor-invariance

First-order logic

Résumé

Cette thèse s’attache à l’étude du pouvoir d’expression de deux logiques définies par invariance : successor-invariant first order logic, Succ-inv FO, et order-invariant first order logic, <-inv FO. Ces formalismes étendent la logique du premier ordre, FO, en autorisant l’accès à une relation de successeur (pour Succ-inv FO) ou à une relation d’ordre (pour <-inv FO) sur le domaine des structures considérées, à la condition que l’évaluation des formules ne dépende pas du choix d’une telle relation. Il est établi que dans le cadre général, Succ-inv FO et <-inv FO sont plus expressives que la simple logique du premier ordre. Cependant, si l’on se restreint au cas des arbres, ces deux logiques ont le même pouvoir d’expression que FO. Les deux résultats centraux de cette thèse étendent les classes de structures sur lesquelles le pouvoir d’expression de ces logiques définies par invariance est réduit à celui de FO. Tout d’abord, on montrera que Succ-inv FO n’est pas plus expressif que FO sur les classes de structures dont le degré est borné. La preuve de ce résultat repose sur la construction de successeurs préservant la similarité des structures au premier ordre. Dans un second temps, on définira une nouvelle classe de structures : celle des hollow trees. Un hollow tree est essentiellement un arbre de rang non borné dans lequel un parent est uniquement relié à son enfant le plus à gauche et à celui le plus à droite. Les nœuds d’une fratrie sont liés par le biais d’une relation binaire symétrique. La notion de hollow tree est une généralisation de celle d’arbre de rang borné, et se présente comme une première étape vers les classes de structures de largeur de chemin au plus 2. On montrera que sur la classe des hollow trees, <-inv FO n’est pas plus expressive que la logique du premier ordre.

This thesis focuses on the expressive power of two invariant logics: successor-invariant first-order logic, Succ-inv FO, and order-invariant first-order logic, <-inv FO. In these formalisms, on top of plain first-order logic, FO, an access to an additional successor relation (for Succ-inv FO) or linear order relation (for <-inv FO) on structures is granted, provided that the evaluation of sentences does not depend on the choice of a particular relation. It is well known that both Succ-inv FO and <-inv FO are more expressive than FO in general. However, if one considers only trees, these logics are no more expressive than plain FO. The two main results of this thesis extend the classes of structures on which these invariant logics collapse to FO. First, we prove that Succ-inv FO is no more expressive than FO on classes of bounded degree. For that, we show how successor relations preserving FO-similarity can be constructed. Second, we define a new class of structures, that of hollow trees. A hollow tree can be seen as an unranked tree, where a parent is only linked to its leftmost and rightmost children. Elements of a siblinghood are linearly related through another binary relation, which is symmetric. The notion of hollow trees is a generalization of ranked trees, and we believe it to be a gateway to structures of pathwidth 2. We show that <-inv FO collapses to FO on the class of hollow trees.