Les bornes uniformes pour la longueur des mots et groupe des éléments bornés

Uniform bounds for word length and group of bounded elements

• Auteur / Autrice : Yanis Amirou
• Direction : Anna Erschler
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance le 20/01/2020
• Etablissement(s) : Université Paris sciences et lettres
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : École normale supérieure (Paris ; 1985-....). Département de mathématiques et applications (1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation de la thèse : École normale supérieure (Paris ; 1985-....)
• Jury : Président / Présidente : Pierre Pansu
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Anna Erschler, Pierre Pansu, Tatiana Smirnova-Nagnibeda, François Dahmani, Frédéric Paulin, Romain Tessera
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Tatiana Smirnova-Nagnibeda, François Dahmani

Mots clés

Mots clés contrôlés

Mathématiques

Mots clés libres

Longueur des mots

Métrique des mots

Sous-groupes caractéristiques

FC-centre

Groupes virtuellement abéliens

Identités de groupes

Groupes de Burnside

Groupes hyperboliques

Groupes nilpotents

Word-length

Word metrics

Characteristic subgroups

FC-center

Virtually abelian groups

Group identities

Burnside groups

Hyperbolic groups

Nilpotent groups

Torsion groups

Résumé

Cette thèse étudie la question suivante : étant donné un groupe de type fini G quels sont les éléments dont la longueur est uniformément borné pour toute longueur des mots sur G? Ce travail introduit et étudie le sous-groupe Gbound formé par les éléments dont la longueur des mots est uniformément bornées par rapport au changement de parties génératrices de G. Nous montrons que ce sous-groupe est caractéristique, qu’il est fini quand le groupe G est virtuellement abélien, qu’il est trivial quand le groupe est hyperbolique non-élémentaire. Nous montrons que pour tout groupe fini A, il existe un groupe infini G tel que Gbound = A. Nous montrons que pour les groupes nilpotents de classe 2, Gbound est le plus grand sous-groupe fini de la suite centrale descendante. Nous étudions également une généralisation de Gbound dépendre des cardinaux des parties génératrices considérées.

This thesis studies the following question: given a finitely generated group G which are the elements whose length is uniformly bounded for any word-length in G ?. This work introduces and studies the subgroup Gbound consisting of elements of uniformly bounded word-length with respect to any generating set of G. We show that this subgroup is characteristic, that it is finite when the group G is virtually abelian, that it is trivial when the group is non-elementary hyperbolic. We show that for every finite group A, there exists an infinite group G such that Gbound = A. It is shown that for nilpotent groups of class 2, Gbound is the largest finite subgroup of the lower central series. We also study a generalization of Gbound by making it depend on the cardinals of the generating sets considered.