Quelques Avancements dans les Jeux à Champ Moyen

Some Advances in Mean Field Games Theory

• Auteur / Autrice : Michele Ricciardi
• Direction : Pierre Cardaliaguet, Alessio Porretta
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 26/05/2020
• Etablissement(s) : Université Paris sciences et lettres en cotutelle avec Università degli studi di Roma "Tor Vergata" (1972-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale SDOSE (Paris)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de recherche en mathématiques de la décision (Paris) - CEntre de REcherches en MAthématiques de la DEcision / CEREMADE
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Paris Dauphine-PSL (1968-....)
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Pierre Cardaliaguet, Alessio Porretta, François Delarue, Annalisa Cesaroni, Fabio Camilli, Olivier Ley
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : François Delarue, Annalisa Cesaroni

Mots clés

Mots clés contrôlés

Neumann, Problème de

Équations aux dérivées partielles

Equilibre de Nash

Théorie des jeux

Mots clés libres

Jeux à champs moyen

Équations aux dérivées partielles

Contraintes sur l’état

Conditions de Neumann

Mean field games

Partial Differential Equations

State constraints

Neumann conditions

Résumé

La théorie des Jeux à Champ Moyen a été développé pour décrire le comportement d'un système de joueurs qui agissent pour minimiser une fonction de coût. Le système associé aux équilibres de Nash, sous certain hypothèses, converge à la solution du système MFG. Il s'agit d'une équation de Hamilton-Jacobi, pour la fonction valeur du système, couplé avec une equation de Fokker-Planck pour la densité du processus de chaque joueur. Il y a une vaste littérature en ce qui concerne les Jeux à Champ Moyen, mais généralement on considère seulement le cas que la dynamique des joueurs est confinée dans tout l'espace ou dans le tore (solutions périodiques). Mais dans beaucoup d'applications c'est très important travailler avec un processus qui reste dans un certain domaine d'existence. Cette condition peut être obtenue, par exemple, en prescrivant des conditions de Neumann sur le système MFG. Alternativement, on peut confiner la dynamique en prenant les termes de drift et de diffusion afin de satisfaire la restriction requise. Dans ce cas on parle des MFG avec condition d'invariance. Dans ma thèse je serai focusé sur les deux aspects.

The Mean Field Games Theory was born to describe the behaviour of a N players system, which play their strategies in order to minimize a certain cost functional. The system associated with Nash equilibria, under suitable hypotheses, converge towards a solution of the Mean Field Games system. This system consists of a Hamilton-Jacobi equation for the value function, coupled with a Fokker-Planck equation for the density of the players. There is a huge literature concerning Mean Field Games, but in general the authors consider the case where the dynamic acts in the whole space or in the torus (periodic solutions). But in many applied models boundary conditions turn out to be a crucial issue, and it is usefule to work with a process which remains in a certain domain of existence. This condition can be obtained, for example, by prescribing Neumann conditions on the Mean Field Games system, or with a wise choice of the drift and the diffusion terms in order to satisfy the required restriction. In the latter case we talk about Mean Field Games with invariance conditions for the state space. In my thesis I will be focused on both aspects.