Contrôle des systèmes d'équations aux dérivées partielles de type dispersif

Control of partial differential equations systems of dispersive type

• Auteur / Autrice : Claudia Moreno
• Direction : Emmanuelle Crépeau-Jaisson
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 31/08/2020
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay en cotutelle avec Universidad técnica Federico Santa María (Valparaiso, Chili)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques de Versailles
• Partenaire(s) de recherche : Référent : Université de Versailles-Saint-Quentin-en-Yvelines (1991-....)
• Jury : Président / Présidente : Luc Robbiano
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Luz de Teresa, Thomas Chambrion, Eduardo Cerpa, Alberto Carlos Mercado-Saucedo, Axel Esteban Osses Alvarado, Vahagn Nersesyan
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Luz de Teresa, Thomas Chambrion
• DOI : 10.70675/90cec1e4z1604z4bf6z9765z90cc2e254146

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équation de Korteweg-de Vries

Systèmes d'équations

Méthode de Carleman

Mots clés libres

Controlabilité

Systèmes paraboliques

Observabilité

Inégalité de Carleman

Carleman inequality

Parabolic system

Observability

Controllability

Résumé

Il existe peu de résultats dans la littérature sur la contrôlabilité du système d'équations aux dérivées partielles. Dans cette thèse, nous considérons l'étude des propriétés de contrôle pour trois systèmes couplés d'équations aux dérivées partielles de type dispersif et un problème inverse de récupération d’un coefficient. Le premier système est formé par N équations de Korteweg-de Vries sur un réseau en forme d'étoile. Pour ce système, nous étudierons la contrôlabilité exacte avec N contrôles placés aux extrémités du réseau. Le deuxième système couple trois équations de Korteweg-de Vries. Ce système est appelé dans la littérature le système Hirota-Satsuma généralisé. Nous étudions la contrôlabilité exacte avec trois contrôles frontières.Après, nous étudierons un système parabolique du quatrième ordre formé par deux équations de Kuramoto-Sivashinsky. Nous prouvons l’existence et l’unicité de la solution du système. Ensuite, nous étudions la nulle contrôlabilité du système avec deux contrôles, pour supprimer un contrôle, nous avons besoin d’une inégalité de Carleman qui n’est pas encore prouvée. Finalement, nous présentons pour le système parabolique du quatrième ordre le problème inverse de récupérer le coefficient anti-diffusion à partir des mesures de la solution.

There are few results in the literature about the controllability of partial differential equations system. In this thesis, we consider the study of control properties for three coupled systems of partial differential equations of dispersive type and an inverse problem of recovering a coefficient. The first system is formed by N Korteweg-de Vries equations on a star-shaped network. For this system we will study the exact controllability using N controls placed in the external nodes of the network. The second system couples three Korteweg-de Vries equations. This system is called in the literature the generalized Hirota-Satsuma system. We study the exact controllability with three boundary controls.On the other hand, we will study a fourth-order parabolic system formed by two Kuramoto-Sivashinsky equations. We prove the well-posedness of the system with some regularity results. Then we study the null controllability of the system with two controls, to remove a control, we need a Carleman inequality which is not proven yet. Finally, we present for the fourth-order parabolic system the inverse problem of retrieving the anti-diffusion coefficient from the measurements of the solution.