Thèse soutenue

Marches aléatoires branchantes : Cas limites et hypothèses minimales
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Auteur / Autrice : Pierre Boutaud
Direction : Pascal Maillard
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
Date : Soutenance le 16/12/2020
Etablissement(s) : université Paris-Saclay
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
Partenaire(s) de recherche : référent : Faculté des sciences d'Orsay
Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
Jury : Président / Présidente : Nicolas Curien
Examinateurs / Examinatrices : Dariusz Buraczewski, Yueyun Hu, Loïc Chaumont, Sara Brofferio
Rapporteurs / Rapporteuses : Dariusz Buraczewski, Yueyun Hu

Résumé

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La marche aléatoire branchante est un système de particules sur la droite réelle où partant au temps 0 d’une particule initiale en position 0, chaque particule vivante au temps n meurt au temps n + 1 en donnant indépendemment naissance à un nombre aléatoire de particules se dispersant aléatoirement autour de la position de la particule parente. Dans un premier chapitre introductif, nous définissons en détails le modèle de la marche aléatoire branchante ainsi que certains des enjeux de la recherche autour de ce modèle, notamment l’étude de la martingale additive. Cette martingale peut-être étudié au travers de sa convergence vers une limite triviale ou non ainsi que l’étude d’une renormalisation appropriée, dite de Seneta-Heyde, lorsque cette limite est triviale. Elle peut aussi être étudiée au travers d’équations récursives stochastiques menant à des équations de points fixes en loi. Cette dernière question correspond à des travaux non-publiés effectués en première année de thèse en continuité avec ceux effectués en mémoire de master. Le second chapitre est une traduction en anglais de certaines sections du précédent chapitre pour faciliter la compréhension de certains lecteurs sur les points importants de cette thèse.Dans un troisième chapitre nous présentons une nouvelle méthode de preuve développée avec Pascal Maillard pour le théorème d’Aïdékon et Shi sur la renormalisation de Seneta-Heyde de la martingale additive critique dans le cas où la marche de l’épine admet une variance finie. Cette nouvelle preuve se passe du recours à un lemme d’épluchage et à des calculs de seconds moments pour lui préférer une étude de la transformée de Laplace conditionnée. Les propriétés des fonctions de renouvellements permettent une approche plus générale qui ne demande pas de s’attarder en particulier sur la martingale dérivée. Ceci est d’ailleurs illustré dans le quatrième chapitre où dans de nou veaux travaux avec Pascal Maillard, nous trouvons la renormalisation de Seneta-Heyde de la martingale additive critique dans le cas où la marche de l’épine est dans le domaine d’attraction d’une loi stable. On voit alors que les fonctions de renouvellement nous fournissent un candidat mieux adapté à cette étude que la martingale dérivée, qui n’est plus toujours une martingale dans ce nouveau contexte.Enfin, le cinquième chapitre étudie la question de l’optimalité des hypothèses faites dans le chapitre précédent quant à la trivialité ou non de la limite obtenue après renormalisation de Seneta-Heyde.