Autour de l'énumération des représentations automorphes cuspidales algébriques de GLₙ sur Q en conducteur > 1

Around the enumeration of automorphic cuspidal algebraic representations of GLₙ over Q with conductor > 1

• Auteur / Autrice : Guillaume Lachaussée
• Direction : Gaëtan Chenevier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance le 05/11/2020
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : Référent : Faculté des sciences d'Orsay
• Jury : Président / Présidente : Benjamin Schraen
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Ralf Schmidt, Anne-Marie Aubert, Colette Moeglin, Guy Henniart, Jean-François Dat
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Ralf Schmidt, Anne-Marie Aubert

Mots clés

Mots clés contrôlés

Groupes orthogonaux

Formes automorphes

Programme de Langlands

Mots clés libres

Représentation automorphe

Langlands

Formule explicite

Paramodulaire

Arthur

Automorphic representation

Langlands

Explicit formula

Paramodular

Arthur

Résumé

Les représentations automorphes cuspidales du groupe linéaire sur le corps des rationnels sont, en un certain sens, ''les objets finaux'' de la théorie des formes automorphes. On s’intéresse ici à une sous-classe, celle des représentations algébriques. La complexité d'une telle représentation est mesurée par deux entiers, son poids motivique w et son conducteur N. Il est alors naturel d'essayer d’établir une liste de représentations automorphes cuspidales algébriques de petit conducteur et de petit poids. Chenevier et ses coauteurs ont réussi à établir une telle liste en poids motivique inférieur à 23 et en conducteur N=1. Le cas suivant à considérer est celui du conducteur N=p, où p est un nombre premier. Le premier résultat principal de cette thèse est une liste explicite de toutes les représentations de ce type, en poids motivique inférieur à 17 et en conducteur N=2 (il y en a 10). Sous l'hypothèse supplémentaire d'autodualité, le résultat peut être étendu jusqu'au poids motivique 19. On obtient des résultats similaires pour des conducteurs premiers jusqu’à 17 (la borne de poids diminuant à mesure que le conducteur augmente). Ces listes exhaustives de représentations automorphes sont obtenues en deux étapes : il faut trouver ''l'empreinte'' des représentations en question puis prouver que la liste ainsi obtenue est complète. Pour la première étape, nous utilisons la théorie d'Arthur, qui permet de construire de nombreuses représentations pertinentes à partir de formes modulaires classiques : l'objet classique conduit à une représentation d'un groupe orthogonal ou symplectique, qui peut ensuite être transférée à un groupe linéaire général. Pour la deuxième étape, nous utilisons une méthode analytique à savoir la formule explicite de Riemann-Weil-Mestre. Pour les petits poids et petits conducteurs, la limite inférieure fournie par la méthode constructive coïncide avec la limite supérieure fournie par la formule explicite, et on obtient ainsi une liste exhaustive des représentations automorphes. Le transfert qui nous intéresse ici, selon la théorie d'Arthur, est celui des groupes orthogonaux déployés SO₂ₙ₊₁ vers GL₂ₙ. Puisque le but est de construire des représentations de GL₂ₙ de conducteur premier, il s’agit de comprendre les représentations de SO₂ₙ₊₁ de conducteur premier. C'est là qu'intervient la partie locale de la thèse. Nous sommes en mesure de classifier les représentations irréductibles, admissibles et tempérées de SO₂ₙ₊₁(F) de conducteur premier, où F est un corps p-adique. Nous sommes en outre capable de caractériser de telles représentations selon une conjecture de Gross (qui est donc prouvée dans le cas donné). Cela constitue le deuxième résultat principal de cette thèse.

The cuspidal automorphic representations of the linear group over the rationals are, in a certain sense, ''the final objects'' in the theory of automorphic forms. Among these, a distinguished subclass are the algebraic representations. The complexity of such a representation is measured by two numbers, its motivic weight w and its conductor N. It is then natural to try to make lists of automorphic algebraic representations with small conductor and small weight. Chenevier and his coauthors succeeded in making such lists for motivic weight up to 23 and conductor N=1. The next logical case to consider is that of conductor N=p, a single prime. The first main result of this thesis is an explicit list of all such representations with motivic weight up to 17 and conductor N=2; there are 10 of them. This result can be extended under the additional hypothesis of self-duality up to motivic weight 19. There are similar results for prime conductor up to 17 (in which the weight bound becomes lower as the conductor becomes higher). Making exhaustive lists of automorphic representations (up to a certain motivic weight and conductor) involves two steps: firstly find the ''footprints'' of the representations in question; secondly, prove that the list is complete. For the first step, we use the theory of Arthur, which allows for the construction of many relevant representations from classical modular forms. (First the classical object leads to a representation of an orthogonal or symplectic group, which can then be transferred to a general linear group.) For the second step, we use an analytic method known as the explicit formula of Riemann-Weil-Mestre. For small weight and conductor, the lower bound provided by the constructive method coincides with the upper bound provided by the explicit formula, and hence one has obtained a complete list of automorphic representations. Along Arthur's theory, the relevant transfer for this thesis is that of split orthogonal groups SO₂ₙ₊₁ to GL₂ₙ. Since the goal is to construct representations of GL₂ₙ with prime conductor, a precise understanding of the representations of SO₂ₙ₊₁ with prime conductor is required. This is where the local part of the thesis comes in. We are able to classify the irreducible, admissible, tempered representations of SO₂ₙ₊₁(F) of prime conductor, where F is a p-adic field. We are furthermore able to characterize such representations according to a conjecture of Gross (which is then proven in the given case). This is the second main result of this thesis.