On the Bertini theorem in Arakelov geometry

par Xiaozong Wang

Thèse de doctorat en Mathématiques fondamentales

Sous la direction de François Charles.

Soutenue le 23-09-2020

à université Paris-Saclay , dans le cadre de École doctorale de mathématiques Hadamard , en partenariat avec Laboratoire de Mathématiques d'Orsay (laboratoire) et de Faculté des sciences d'Orsay (référent) .

Le président du jury était Antoine Chambert-Loir.

Le jury était composé de Pascal Autissier, Jean-Benoît Bost, Mathilde Herblot.

Les rapporteurs étaient Pascal Autissier, Shouwu Zhang.

  • Titre traduit

    Autour du théorème de Bertini en géométrie d'Arakelov


  • Résumé

    Cette thèse a pour objet l'étude des propriétés géométriques des variétés arithmétiques. Plus précisément, nous nous intéressons à l'existence des sous-schémas projectifs réguliers sur une variété arithmétique projective régulière. Nous étendons d'abord un résultat de Poonen. Nous prouvons notamment qu'étant donnés une variété projective lisse X sur un corps fini et un faisceau ample L au-dessus de X, la proportion des sections globales de L⊗d ayant un diviseur lisse tend vers ζx(1+dim X)⁻¹ quand d tend vers l'infini. Nous montrons ensuite que pour une variété arithmétique projective régulière X muni d'un faisceau hermitien ample L, la proportion des sections globales de norme infinie strictement plus petite que 1 de L⊗d dont le diviseur n'a pas de point singulier sur la fibre Xp au-dessus d'aucun nombre premier p ≤ eᵋᵈ tend vers ζx(1+dim X)⁻¹ quand d tend vers l'infini.


  • Résumé

    The purpose of this thesis is to study the geometric properties of the arithmetic varieties. More precisely, we are interested in the existence of regular projective subschemes of a regular projective arithmetic variety. First we extend a result of Poonen. In particular, we prove that given a smooth projective variety X over a finite field and an ample line bundle L on X, the proportion of global sections of L⊗d which has a smooth divisor tends to ζx(1+dim X)⁻¹ when d tends to infinity. Then we show that for a regular projective arithmetic variety X equipped with an ample hermitian line bundle L, the proportion of global sections of supremum norm strictly smaller than 1 of L⊗d whose divisor does not have a singular point on the fiber Xp over any prime p ≤ eᵋᵈ tends to ζx(1+dim X)⁻¹ as d tends to infinity.


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