Numerical resolution of algebraic systems with complementarity conditions : Application to the thermodynamics of compositional multiphase mixtures

par Duc Thach Son Vu

Thèse de doctorat en Mathématiques et Informatique

Sous la direction de Quang Huy Tran et de Mounir Haddou.

Le président du jury était Abdel-Ilah Lisser.

Le jury était composé de Quang Huy Tran, Samir Adly, Didier Aussel, Hoai An Lê Thi, Jean-Pierre Dussault, Ibtihel Ben Gharbia.

Les rapporteurs étaient Samir Adly, Didier Aussel.

  • Titre traduit

    Résolution numérique des systèmes algébriques contenant des équations de complémentarité : Application à la thermodynamique des mélanges polyphasiques compositionnels


  • Résumé

    Dans les simulateurs de réservoir, la prise en compte des lois d’équilibre thermodynamique pour les mélanges polyphasiques d'hydrocarbures est une partie délicate. La difficulté réside dans la gestion de l'apparition et de la disparition des phases pour différents constituants. L'approche dynamique traditionnelle, dite de variable switching, consiste à ne garder que les inconnues des phases présentes et les équations relatives à celles-ci. Elle est lourde et coûteuse, dans la mesure où le « switching » se produit constamment, même d'une itération de Newton à l'autre.Une approche alternative, appelée formulation unifiée, permet de maintenir au cours des calculs un jeu fixe d'inconnues et d'équations. Sur le plan théorique, c'est un progrès important. Sur le plan pratique, comme la nouvelle formulation fait intervenir des équations de complémentarité qui sont non-lisses, on est obligé après discrétisation d'avoir recours à la méthode semi-lisse Newton-min, au comportement souvent pathologique.Pour aller au bout de l’intérêt de la démarche unifiée, cette thèse a pour objectif de lever cet obstacle numérique en élaborant des algorithmes de résolution mieux adaptés, avec une meilleure convergence. Notre méthodologie consiste à s’inspirer des méthodes qui ont fait leur preuve en optimisation sous contraintes et à les transposer aux systèmes généraux. Cela conduit aux méthodes de points intérieurs, dont nous proposons une version non-paramétrique appelée NPIPM, avec des résultats supérieurs à Newton-min.Une autre contribution de ce travail doctoral est la compréhension et la résolution (partielle) d’une autre obstruction au bon fonctionnement de la formulation unifiée, jusque-là non identifiée dans la littérature. Il s’agit de la limitation du domaine de définition des fonctions de Gibbs associées aux lois d’état cubiques. Pour remédier à l’éventuelle non-existence de solution du système, nous préconisons un prolongement naturel des fonctions de Gibbs.


  • Résumé

    In reservoir simulators, it is usually delicate to take into account the laws of thermodynamic equilibrium for multiphase hydrocarbon mixtures. The difficulty lies in handling the appearance and disappearance of phases for different species. The traditional dynamic approach, known as variable switching, consists in considering only the unknowns and equations of the present phases. It is cumbersome and costly, insofar as "switching" occurs constantly, even from one Newton iteration to another.An alternative approach, called unified formulation, allows a fixed set of unknowns and equations to be maintained during the calculations. From a theoretical point of view, this is an major advance. On the practical level, because of the nonsmoothness of the complementarity equations involved in the new formulation, the discretized equations have to be solved by the semi-smooth Newton-min method, whose behavior is often pathological.In order to fully exploit the interest of the unified approach, this thesis aims at circumventing this numerical obstacle by means of more robust resolution algorithms, with a better convergence. To this end, we draw inspiration from the methods that have proven their worth in constrained optimization and we try to transpose them to general systems. This gives rise to interior-point methods, of which we propose a nonparametric version called NPIPM. The results appear to be superior to those of Newton-min.Another contribution of this doctoral work is the understanding and (partial) resolution of another obstruction to the proper functioning of the unified formulation, hitherto unidentified in the literature. This is the limitation of the domain of definition of Gibbs' functions associated with cubic equations of state. To remedy the possible non-existence of a system solution, we advocate a natural extension of Gibbs' functions.


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