Quelques contibutions à la théorie des jeux à champ moyen

Contributions to the theory of mean field games

• Auteur / Autrice : Ziad Kobeissi
• Direction : Yves Achdou, Pierre Cardaliaguet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques. Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 02/10/2020
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Jacques-Louis Lions (Paris ; 1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Guy Barles
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Annalisa Cesaroni, Jean-François Chassagneux, Alessio Porretta
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Filippo Santambrogio, Fabio Camilli

Mots clés

Mots clés contrôlés

Modèles mathématiques

Commande, Théorie de la

Équations aux dérivées partielles

Théorie des jeux

Mots clés libres

Jeux à champ moyen

Système d’équations aux dérivées partielles

Simulations numériques

Mean Field Games

System of partial differential equations

Numerical simulations

Résumé

Cette thèse a pour objet d’étude la théorie des jeux à champs moyen. La majeure partie est consacrée à des jeux à champ moyen dans lesquels les joueurs peuvent interagir a travers la loi de leur état et de leur contrôle ; nous utiliserons la terminologie jeu à champ moyen de contrôle pour désigner de tels jeux. Dans un premier temps, nous faisons une hypothèse structure, qui consiste essentiellement à dire que la dynamique optimale dépend de la loi de contrôle de façon lipschitzienne avec une constante inférieure à un. Dans ce cas, nous prouvons plusieurs résultats d’existence de solutions au système de jeu à champ moyen de contrôle, et un résultat d’unicité en temps court. Dans un second temps, nous mettons en place un schéma numérique et faisons des simulations pour des modèles de mouvement de populations. Dans un troisième temps, nous montrons l’existence et l’unicité lorsque l’interaction par le contrôle satisfait une condition de monotonie. Le dernier chapitre concerne un algorithme de résolution numérique pour des jeux à champ moyen de type variationnel et sans interaction via la loi du contrôle ; nous utilisons une stratégie de préconditionnement par une méthode de multi-grille pour obtenir une convergence rapide.

This thesis deals with the theory of mean field games (MFG for short). The main part is dedicated to a class of games in which agents may interact through their law of states and controls; we use the terminology mean field games of controls (MFGC for short) to refer to this class of games. First, we assume that the optimal dynamics depends upon the law of controls in a Lipschitz way, with a Lipchitz constant smaller than one. In this case, we give several existence results on the solutions of the MFGC system, and one uniqueness result under a short-time horizon assumption. Second, we introduce a scheme and make simulations for a model of crowd motion. Thrid, under a monotonicity assumption on the interactions through the law of controls, we prove existence and uniqueness of the solution of the MFGC system. Finally, we introduce an algorithm for solving MFG systems of variational type, we use a preconditioned strategy based on a multigrid method.