Contributions à la formule des traces relative de Jacquet-Guo

Contributions to the relative trace formula of Guo-Jacquet

• Auteur / Autrice : Huajie Li
• Direction : Pierre-Henri Chaudouard
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 29/09/2020
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Anne-Marie Aubert
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Raphaël Beuzart-Plessis, Nadir Matringe, Jean-Loup Waldspurger
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Volker Heiermann, Wei Zhang

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie des nombres

Invariants

Formules de trace

Mots clés libres

Formule des traces de Jacquet-Guo

Troncature d'Arthur

Lemme fondamental pondéré

Formule des traces locale

Transfert non invariant

Guo-Jacquet trace formula

Arthur's truncation

Weighted fundamental lemma

Local trace formula

Noninvariant transfer

Résumé

On établit des formules des traces globale et locale pour les espaces symétriques infinitésimaux de Jacquet-Guo. On prouve également quelques résultats locaux concernant la comparaison de termes semi-simples réguliers qui sont des intégrales orbitales pondérées non invariantes. Cette thèse contient cinq chapitres. Dans le chapitre 1, on rappelle les motivations et énonce nos principaux résultats. Notre travail s'inspire d'une conjecture de Jacquet-Guo, qui est un exemple dans le programme de Langlands relatif, et des problèmes analytiques apparaissant dans l'approche par la formule des traces relative. Dans le chapitre 2, on établit une variante infinitésimale de la formule des traces de Jacquet-Guo pour le cas de (GL (2n, D), GL (n, D) ⨉GL (n, D)). Elle est une sorte de formule sommatoire de Poisson obtenue par un analogue de la troncature d'Arthur. On décrit les termes semi-simples réguliers comme des intégrales orbitales pondérées explicites. Dans le chapitre 3, on établit une formule similaire et a une description similaire des termes semi-simples réguliers pour le cas d'une algèbre centrale simple contenant une extension quadratique. De plus, on énonce et prouve le lemme fondamental pondéré grâce aux travaux de Labesse sur le changement de base pour GL(n). Dans le chapitre 4, on établit une formule des traces locale invariante infinitésimale de Jacquet-Guo sur un corps p-adique en suivant les travaux de Waldspurger et Arthur. Au cours de la démonstration, on obtient également une formule des traces locale non invariante infinitésimale, la finitude de Howe pour les intégrales orbitales pondérées et la représentabilité de la transformée de Fourier des intégrales orbitales pondérées. Dans le chapitre 5, avec les résultats des chapitres précédents, on adopte la stratégie de Waldspurger sur le transfert endoscopique pour prouver certaines relations entre transformées de Fourier des intégrales orbitales pondérées locales invariantes.

We establish global and local trace formulae for infinitesimal symmetric spaces of Guo-Jacquet. We also prove several local results concerning the comparison of regular semi-simple terms which are noninvariant weighted orbital integrals. This thesis contains five chapters. In Chapter 1, we recall the motivations and state our main reults. Our work is inspired by a conjecture of Guo-Jacquet, which is an example in the relative Langlands programme, and analytic problems appearing in the relative trace formula approach. In Chapter 2, we establish an infinitesimal variant of Guo-Jacquet trace formula for the case of (GL (2n, D), GL (n, D) ⨉GL (n, D)). It is a kind of Poisson summation formula obtained by an analogue of Arthur’s truncation. We describe regular semi-simple terms as explicit weighted orbital integrals. In Chapter 3, we estabilish a similar formula and have a similar description of regular semi-simple terms for the case of a central simple algebra containing a quadratic extension. Moreover, we state and prove the weighted fundamental lemma thanks to Labesse’s work on the base change for GL(n). In Chapter 4, we establish an infinitesimal invariant local trace formula of Guo-Jacquet over a p-adic field by following works of Waldspurger and Arthur. During the proof, we also obtain an infinitesimal noninvariant local trace formula, Howe’s finiteness for weighted orbital integrals and the representability of the Fourier transform of weighted orbital integrals. In Chapter 5, with the results in previous chapters, we adopt Waldspurger’s strategy on the endoscopic transfer to prove some relations between Fourier transforms of invariant local weighted orbital integrals.