Enseignement et apprentissage des fonctions numériques dans un contexte de modélisation et de travail mathématique

Teaching and learning numerical functions in a context of mathematical work and modeling

• Auteur / Autrice : Claudia Gabriela Reyes Avendaño
• Direction : Laurent Vivier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques. Didactique des disciplines
• Date : Soutenance le 23/06/2020
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Savoir, sciences, éducation (Paris ; 2019-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de didactique André Revuz (Paris ; 2009-....)
• Jury : Président / Présidente : Alain Kuzniak
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Patrick Gibel, Asuman Oktaç
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : María Trigueros Gaisman, Paul Drijvers

Mots clés

Mots clés contrôlés

Fonctions (mathématiques)

Cinématique

Mathématiques -- Étude et enseignement

Modèles mathématiques

Mots clés libres

Espaces de Travail Mathématiques (ETM)

Espaces de Travail en Cinématiques (ETC)

Cycle de modélisation

Registres de représentation

Mathematical Working Space (MWS)

Kinematics Working Spaces (KWS)

Modeling Cycle

Register of Semiotic Representation

Résumé

L’objectif principal de ce travail de recherche est de savoir, dans quelle mesure la modélisation mathématique des phénomènes de mouvement influence le développement et la signification de la notion de fonction. Dans ce sens, tout au long des six chapitres de cette thèse, nous avons traité le domaine de la cinématique comme une sorte de carrefour entre la physique et les mathématiques. Le but était d’aborder la notion de fonction à travers des cycles des modélisation de phénomènes de mouvement, ce qui a conduit les élèves non seulement aux notions de courbe, fonction, équations paramétriques et dérivées, mais aussi aux concepts de distance, trajectoire, vitesse tangentielle, vitesse angulaire, accélération, accélération centripète et de cadres de référence. Par le biais de Tracker (logiciel d’analyse des vidéos de mouvement) et de GeoGebra, cette approche de la notion de fonction a permis non seulement de déclencher une transition entre les différents registres de représentation (Duval, 1999) de fonctions, mais aussi une série de processus cognitifs que nous avons analysés avec le cadre théorico-méthodologique Espaces de Travail en Cinématiques (ETC), extension du cadre Espace de Travail Mathématique (Kuzniak et al., 2016a), que nous avons développé dans cette thèse pour caractériser le travail effectué par les élèves. Pour atteindre l’objectif de cette recherche, nous avons conçu quatre activités de modélisation (MRU, MRUA, MCU et la combinaison d’un MRU+MCU), pour les élèves en dernière année de lycée intéressés par une carrière scientifique ou d’ingénieur, en utilisant l’ETC, le cycle de modélisation (Blum et Leiss, 2007) et les registres de représentation. Le travail réalisé par les élèves a été caractérisé par l’observation de l’évolution de la notion de fonction à travers les registres de représentation sémiotique et les processus cognitifs déclenchés (ETC) au cours des cycles de modélisation. En bref, ce travail montre la coordination de différentes entités théoriques (cycle de modélisation, registres de représentation et l’ETC) dans la caractérisation du travail effectué par les élèves lors de la réalisation de processus de modélisation des phénomènes de mouvement.

The main objective of this research work is to know to what extent the mathematical modeling of movement phenomena influences the development and significance of the notion of function. In this sense, throughout the six chapters of this thesis, we have treated the domain of kinematics as a kind of intersection between physics and mathematics. The objective was to approach the notion of function through modeling cycles of motion phenomena, which led students not only to the notions of curve, function, parametric equations and derivative, but also to the concepts of distance, trajectory, tangential velocity, angular velocity, acceleration, centripetal acceleration and frames of reference. By means of Tracker (software for the analysis of motion videos) and GeoGebra, approaching the notion of function in this way triggered not only a transition between different function registers of semiotic representation (Duval, 1999), but also a series of cognitive processes that we analyzed with the theoretical methodological framework Kinematic Working Space (KWS), an extension of the framework Mathematical Working Space (Kuzniak et al., 2016a), which we developed in this thesis to characterize the work done by the students. To achieve the main objective of this research, we designed 4 modeling activities (URM, RUAM, UCM and the combination of an URM+UCM), for students in their last year of high school interestedin studying a scientific or engineering career, using the ETC, the modeling cycle (Blum et Leiss, 2007) and the registers of semiotic representation. The work carried out by the students was characterized by observing the evolution of the notion of function through the registers of semiotic representation and the cognitive processes triggered (KWS) during the modeling cycles. In summary, this work shows the coordination of different theoretical entities (modeling cycles, representation registers and the KWS) in the characterization of the work done by students when carrying out modeling processes of movement phenomena concerning the mathematical object, function.