Topology at infinity and atypical intersections for variations of Hodge structures

par Jiaming Chen

Thèse de doctorat en Mathématiques. Topologie algébrique

Sous la direction de Bruno Klingler.

Le président du jury était Claire Voisin.

Le jury était composé de Bruno Klingler, Claire Voisin, Patrick Brosnan, Carlos Simpson, François Charles, Philippe Eyssidieux, Emmanuel Ullmo.

Les rapporteurs étaient Patrick Brosnan.

  • Titre traduit

    Topologie à l’infini et intersections atypiques pour les variations des structures de Hodge


  • Résumé

    Cette thèse étudie les aspects topologiques et géométriques de certains espaces intéressants issus de la théorie de Hodge, tels que les variétés localement symétriques, et leur généralisation, les variétés de Hodge ; ainsi que les applications de périodes qui y prennent valeur.Au chapitre 1 (travail commun avec Looijenga), nous étudions la compactification de Baily-Borel des variétés localement symétriques et ses variantes toroïdales, ainsi que la compactification de Deligne-Mumford de l’espace de module des courbes d’un point de vue topologique. Nous définissons un "type d’homotopie champêtre" pour ces espaces comme le type d’homotopie d’une petite catégorie. Nous généralisons ainsi un ancien résultat de Charney-Lee sur la compactification de Baily-Borel de Ag et récupérons (et reformulons) un résultat plus récent d’Ebert-Giansiracusa sur les compactifications de Deligne-Mumford. Nous décrivons également en ces termes une extension de l’application de périodes pour les surfaces de Riemann. Dans le chapitre 2 (travail commun avec Looijenga), nous donnons une preuve algébro-géométrique relativement simple d’un autre résultat de Charney et Lee sur la cohomologie stable de la compactification de Satake-Baily-Borel de Ag et montrons que cette cohomologie stable est munie d’une structure de Hodge mixte dont nous déterminons les nombres de Hodge.Dans le chapitre 3 (chapitre principal de cette thèse), nous étudions un problème d’intersections atypiques pour une variation de structures de Hodge V sur une variété quasi-projective complexe irréductible lisse S. Nous montrons que l’union des sousvariétés spéciales non-facteur pour (S,V), qui sont de type Shimura avec des applications de périodes dominantes, est une union finie de sous-variétés spéciale des S. Ceci démontre une conjecture de Klingler


  • Résumé

    This thesis studies topological and geometrical aspects of some interesting spaces springing from Hodge theory, such as locally symmetric varieties, and their generalization, Hodge varieties; and the period maps which take value in them.In Chapter 1 (joint work with Looijenga) we study the Baily-Borel compactifications of locally symmetric varieties and its toroidal variants, as well as the Deligne-Mumford compactification of the moduli of curves from a topological viewpoint. We define a "stacky homotopy type" for these spaces as the homotopy type of a small category and thus generalize an old result of Charney-Lee on the Baily-Borel compactificationof Ag and recover (and rephrase) a more recent one of Ebert-Giansiracusa on the Deligne-Mumford compactification. We also describe an extension of the period map for Riemann surfaces in these terms.In Chapter 2 (joint work with Looijenga) we give a relatively simple algebrogeometric proof of another result of Charney and Lee on the stable cohomology of the Satake-Baily-Borel compactification of Ag and show that this stable cohomology comes with a mixed Hodge structure of which we determine the Hodge numbers.In Chapter 3 (themain chapter of this thesis) we study an atypical intersection problem for an integral polarized variation of Hodge structure V on a smooth irreducible complex quasi-projective variety S. We show that the union of the non-factor special subvarieties for (S,V), which are of Shimura type with dominant period maps, is a finite union of special subvarieties of S. This proves a conjecture of Klingler

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