E-polynôme de la variété de GLn⋊<σ>-caractère

E-Polynomial of GLn⋊<σ>-character varieties

• Auteur / Autrice : Cheng Shu
• Direction : Emmanuel Letellier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 20/07/2020
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Pierre-Henri Chaudouard
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Emmanuel Letellier, Pierre-Henri Chaudouard, François Digne, Anton Mellit, Jean Michel, Olivier Schiffmann, Peng Shan
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : François Digne, Anton Mellit

Mots clés

Mots clés contrôlés

Polynômes

Hodge, Théorie de

Groupes de Lie

Riemann, Surfaces de

Mots clés libres

Variété de caractère

Polynôme de Hodge

Fonctions Symétrique

Character varieties

Mixed Hodge Polynomials

Symmetric Functions

Résumé

Soit σ l'automorphisme par transpose-inverse de GLn, qui définit un produit semi-direct GLn⋊<σ>. Soit Y→X un revê-tement double de surfaces de Riemann, qui est exactement la partie non ramifiée d'un revêtement ramifié de surfaces de Riemann compactes. L'élément non trivial de Gal(Y/X) sera noté τ. A chaque point ramifié enlevé, on associe une GLn(C)-classe de conjugaison contenue dans la composante connexe GLn(C).σ, et on exige que la famille C des classes de conjugaison soient générique. La variété de GLn(C)⋊<σ>-caractère que l'on a étudié est l'espace de module des pairs (L,Φ) formés d'un système local L sur Y et d'un isomorphisme Φ:L → τ*L*, dont les monodromies autour des points ramifiés sont déterminées par C. On calcule le E-polynôme de cette variété de caractère. A ce fin, on utilise un théorème de Katz, ce qui nous ramème au comptage des points sur corps finis. La formule de comptage fait intervenir les caractères irréductibles de GL_n(q)⋊<σ>, et donc la table des l-adic caractères de ce groupe est déterminée au fur et à mesure. Le polynôme qui en résulte s'exprime comme un produit scalaire de certaines fonctions symétriques associées au produit de couronne (Z/2Z)^N⋊(S_N), avec N=[n/2].

Let σ be the transpose-inverse automorphism of GLn so that we have a semi-direct product GLn⋊<σ>. Let Y→X be a double covering of Riemann surfaces, which is exactly the unramified part of a ramified covering of compact Riemann surfaces. The non trivial covering transformation is denoted by τ. To each puncture (removed ramification point), we prescribe a GLn(C)-conjugacy class contained in the connected component GLn(C).σ . And we require the collection C of these conjugacy classes to be generic. Our GLn(C)⋊<σ>-character variety is the moduli of the pairs (L,Φ), where L is a local system on Y and Φ:L → τ*L* is an isomorphism, whose monodromy at the punctures are determined by C. We compute the E-polynomial of this character variety. To this end, we use a theorem of Katz and translate the problem to point-counting over finite fields. The counting formula involves the irreducible characters of GL_n(q)⋊<σ>, and so the l-adic character table of GL_n(q)⋊<σ> is determined along the way. The resulting polynomial is expressed as the in-ner product of certain symmetric functions associated to the wreath product (Z/2Z)^N⋊(S_N), with N=[n/2].