Non-paresse dans la complexité computationnelle implicite et le λ-calcul probabiliste

Non-laziness in implicit computational complexity and probabilistic λ-calculus

• Auteur / Autrice : Gianluca Curzi
• Direction : Michèle ‎Pagani‎, Luca Roversi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique. Logique
• Date : Soutenance le 12/06/2020
• Etablissement(s) : Université Paris Cité en cotutelle avec Università di Torino (Turin, Italie)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche en informatique fondamentale (Paris ; 2016-....)
• Jury : Président / Présidente : Patrick Baillot
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Michèle ‎Pagani‎, Luca Roversi, Patrick Baillot, Ugo Dal Lago, Alessio Guglielmi, Claudia Faggian, Lorenzo Tortora de Falco
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Ugo Dal Lago, Alessio Guglielmi

Mots clés

Mots clés contrôlés

Sémantique opérationnelle

Lambda-calcul

Complexité de calcul (informatique)

Logique de seuil

Mots clés libres

Lambda-calcul probabiliste

Bisimulation

Temps polynomial

Probabilistic lambda-calculus

Bisimulation

Polynomial Time

Résumé

Cette thèse explore les avantages de la “non-paresse” dans la Complexité Computationnelle implicite et dans le lambda calcul probabiliste. Plus précisément, cette thèse peut être divisée en deux parties principales. Dans la première, nous étudions dans tous les sens les mécanismes d’effacement et de duplication linéaire, qui nous conduisent aux systèmes de typage LEM (Lin- early Exponential Multiplicative Type Assignment) et LAM (Linearly Additive Multiplicative Type Assignment). Le premier est capable d’exprimer des versions plus faibles des règles exponentielles de la Logique Linéaire, tandis que le second est doté de règles additifs plus faibles, appelées additifs linéaires. Ces systèmes bénéficient respectivement d’une élimination de coupure cubique et d’un résultat de normalisation linéaire. Étant donné que les additifs linéaires ne nécessitent pas d’évaluation paresseuse pour éviter l’explosion exponentielle de la normalisation (contraire- ment aux additifs standard), ils peuvent être utilisés pour obtenir une caractérisation implicite des fonctions calculables en temps polynomial probabiliste qui ne dépend pas du choix de la stratégie de réduction. Ce résultat a été réalisé dans STA, un système obtenu en dotant STA (Soft Type Assignment) d’une formulation aléatoire des additifs linéaires, qui capture aussi les classes de complexité PP et BPP. La deuxième partie de la thèse est centrée sur le lambda calcul probabiliste doté d’une sémantique opérationnelle basée sur la réduction de tête, c’est-à-dire une politique d’évaluation non paresseuse d’appel par nom. Nous prouvons que la bisimilarité probabiliste est “fully abstract” par rapport à l’équivalence observationnelle. Ce résultat témoigne le pouvoir discriminant de la non-paresse, qui permet de retrouver une correspondance parfaite entre les deux équivalences qui manquait dans le cadre paresseux. De plus, nous montrons que la similarité probabiliste est correcte mais pas complète par rapport au préordre observationnel.

This thesis explores the benefits of non-laziness in both Implicit Computational Complexity and probabilistic computation. More specifically, this thesis can be divided in two main parts. In the first one, we investigate in all directions the mechanisms of linear erasure and duplication, which lead us to the type assignment systems LEM (Linearly Exponential Multiplicative Type Assignment) and LAM (Linearly Additive Multiplicative Type Assignment). The former is able to express weaker versions of the exponential rules of Linear Logic, while the latter has weaker additive rules, called linear additives. These systems enjoy, respectively, a cubic cut-elimination and a linear normalization result. Since linear additives do not require a lazy evaluation to avoid the exponential blow up in normalization (unlike the standard additives), they can be employed to obtain an implicit characterization of the functions computable in probabilistic polynomial time that does not depend on the choice of the reduction strategy. This result is achieved in STA⊕, a system that extends STA (Soft Type Assignment) with a randomized formulation of linear additives. Also, this system is able to capture the complexity classes PP and BPP. The second part of the thesis is focused on the probabilistic λ-calculus endowed with an operational semantics based on the head reduction, i.e. a non-lazy call-by-name evaluation policy. We prove that probabilistic applicative bisimilarity is fully abstract with respect to context equivalence. This result witnesses the discriminating power of non-laziness, which allows to recover a perfect match between the two equivalences that was missing in the lazy setting. Moreover, we show that probabilistic applicative similarity is sound but not complete for the context preorder.