Modélisation mathématique et simulation de la dynamique spatiale de populations de campagnols dans l’est de la France

par Thi Nhu Thao Nguyen

Thèse de doctorat en Mathématiques

Soutenue le 20-11-2020

à Bourgogne Franche-Comté , dans le cadre de École doctorale Carnot-Pasteur (Besançon ; Dijon ; 2012-....) , en partenariat avec Laboratoire de Mathématiques de Besançon (Besançon) (laboratoire) , Université de Franche-Comté (Etablissement de préparation) et de Laboratoire de Mathématiques (laboratoire) .


  • Résumé

    L'objectif principal de la thèse est de proposer et d'analyser des modèles mathématiques basés sur des équations aux dérivées partielles (EDP) afin de décrire la dynamique spatiale de deux espèces de campagnols (Microtus arvalis et Arvicola terrestris), qui sont particulièrement surveillés dans l'est de la France. Les modèles que nous avons proposés reposent sur des EDP qui décrivent l'évolution de la densité de la population de campagnols en fonction du temps, de l'âge et de la position dans l'espace. Nous avons suivi deux approches complémentaires pour représenter la dynamique. Dans la première approche, nous avons proposé un premier modèle qui consiste en une EDP scalaire en structurée en temps, en âge, et en espace. Elle est complétée par une condition au bord non locale. Le flux est linéaire à coefficient constant dans la direction de l'âge mais contient un terme non local dans les directions de l'espace. De plus, l'équation contient un terme de second ordre par rapport aux variables spatiales. Nous avons démontré l'existence et la stabilité de solutions faibles entropiques pour le modèle en utilisant, la compacité par compensation établie par Panov et un argument du type doublement de variables. Dans la deuxième approche, nous nous sommes inspirés du modèle Multi Agents introduit par Marilleau-Lang-Giraudoux, où la dynamique spatiale des juvéniles est découplée de l'évolution locale dans chaque parcelle. Pour mettre en place ce deuxième modèle, nous avons introduit un graphe orienté dont les nœuds sont les parcelles (ou colonies). Dans chaque nœud, l'évolution de la colonie est décrite par une équation de transport structurée en temps et en âge, et les mouvements de dispersion dans l'espace sont représentés par les passages d'un nœud à un autre. Nous avons proposé une discrétisation du modèle, par des schéma volumes finis, et, grâce à des simulations numériques, nous avons pu illustrer le fait que le modèle est capable de reproduire certaines caractéristiques qualitatives de la dynamique spatiale observée dans la nature. Nous avons ensuite proposé un troisième modèle qui est un système proie-prédateur constitué d'une équation hyperbolique pour les prédateurs et d'une équation parabolique-hyperbolique pour les proies analogue à celle proposée dans le premier modèle. Le terme de force dans l'équation des prédateurs dépend de manière non localement de la densité des proies et les deux équations sont également couplées via des termes sources classiques de type Lotka-Volterra. Nous avons établi l'existence de solutions en appliquant la méthode de la viscosité évanescente, et nous avons établi un résultat de stabilité par un argument de type doublement de variables. Enfin nous avons proposé et validé un schéma de type volumes finis pour le premier modèle.La dernière partie de mes travaux de recherche est dédiée à un projet auquel j'ai participé lors d'une école d'été CEMRACS. Il concerne un sujet de biomathématiques différent du thème principal de la thèse et porte sur un modèle épidémiologique pour la salmonellose. Nous avons proposé un nouveau cadre de modélisation générique multi-échelles de la transmission hétérogène d'agents pathogènes dans une population animale. Au niveau intra-hôte, le modèle décrit l'interaction entre le microbiote commensal, le pathogène et la réponse inflammatoire. Des fluctuations aléatoires de la dynamique écologique du microbiote individuel et de la transmission à l'échelle inter-hôte sont ajoutées pour obtenir un modèle EDP de la distribution des agents pathogènes au niveau de la population. Une extension du modèle a, par ailleurs, été développé pour représenter la transmission entre plusieurs populations. Le comportement asymptotique ainsi que l'impact des stratégies de contrôle, y compris le nettoyage et l'administration d'antimicrobiens, sont étudiés par des simulations numériques.

  • Titre traduit

    Mathematical modeling and simulation of the spatial dynamics of voles populations in eastern France


  • Résumé

    The main objective of the thesis is to propose and analyze mathematical models based on partial differential equations (PDE) to describe the spatial dynamics of two species of voles (Microtus arvalis and Arvicola terrestris), which are particularly monitored in Eastern France. The models that we have proposed are based on PDE which describe the evolution of the density of the population of voles as a function of time, age and position in space. We have two complementary approaches to represent the dynamics. In the first approach, we propose a first model that consists of a scalar PDE depending on time, age, and space supplemented with a non-local boundary condition. The flux is linear with constant coefficient in the direction of age but contains a non-local term in the directions of space. Moreover, the equation contains a second order term in the spatial variables only. We have demonstrated the existence and stability of weak entropy solutions for the model by using, respectively, the Panov's theorem of the multidimensional compensated and a doubling of the variables type argument. In the second approach we were inspired by a Multi Agent model proposed by Marilleau-Lang-Giraudoux, where the spatial dynamics of juveniles is decoupled from local evolution in each plot. To apply this model, we have introduced a directed graph whose nodes are the plots. In each node, the evolution of the colony is described by a transport equation with two variables, time and age, and the movements of dispersion, in space, are represented by the passages from one node to the other. We have proposed a discretization of the model, by finite volume methods, and noticed that this approach manages to reproduce the qualitative characteristics of the spatial dynamics observed in nature. We also proposed to consider a predator-prey system consisting of a hyperbolic equation for predators and a parabolic-hyperbolic equation for preys, where the prey's equation is analogous to the first model of the vole populations. The drift term in the predators' equation depends nonlocally on the density of prey and the two equations are also coupled via classical source terms of Lotka-Volterra type. We establish existence of solutions by applying the vanishing viscosity method, and we prove stability by a doubling of variables type argument. Moreover, concerning the numerical simulation of the first model in one-dimensional space, we obtain a finite volume discretization by using the upwind scheme and then validate the numerical scheme.The last part of my thesis work is a project in which I participated during a Summer school CEMRACS. The project was on a subject of biomathematics different from that of the thesis (an epidemiological model for salmonellosis). A new generic multi-scale modeling framework for heterogeneous transmission of pathogens in an animal population is suggested. At the intra-host level, the model describes the interaction between the commensal microbiota, the pathogen and the inflammatory response. Random fluctuations in the ecological dynamics of the individual microbiota and transmission at the inter-host scale are added to obtain a PDE model of drift-diffusion of pathogen distribution at the population level. The model is also extended to represent transmission between several populations. Asymptotic behavior as well as the impact of control strategies, including cleaning and administration of antimicrobials, are studied by numerical simulation.


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