Contribution à la modélisation mathématique et numérique pour des modèles d'écoulement non-linéaires dispersifs en eaux peu profondes

Contribution to mathematical and numerical modeling for non-linear dispersive shallow water flow models

• Auteur / Autrice : Debyaoui Mohamed Ali
• Direction : Cédric Galusinski, Mondher Damak, Mehmet Ersoy
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 11/12/2020
• Etablissement(s) : Toulon en cotutelle avec Université de Sfax. Faculté des sciences
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mer et Sciences (Toulon ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulon (2006-....)
• Jury : Président / Présidente : Stéphane Gerbi
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Slim Chaabane, Carine Lucas
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : David Lannes, Fabien Marche

Mots clés

Mots clés contrôlés

Volumes finis, Méthodes de

Euler, Équations d'

Analyse géométrique asymptotique

Fluides incompressibles

Modèles mathématiques

Équations aux dérivées partielles non linéaires

Mots clés libres

Écoulement en canal ouvert

Dispersif

Serre-Green-Naghdi

Ecoulement à surface libre

Open channel flow

Dispersive

Serre-Green-Naghdi

Finit Volumes

Résumé

Cette thèse porte sur la modélisation et l'analyse mathématique de modèles asymptotiques utilisés en océanographie et décrivant la propagation des ondes longues.L'objectif de cette thèse est de construire et de justifier de nouveaux modèles asymptotiques en tenant compte de la variation de la topographie et de la section transversale.Pour ce faire, plusieurs hypothèses sont formulées sur la profondeur de l'eau et les déformations de la section transversale. La première partie de cette thèse consiste à mettre le problème en équations et à trouver des modèles asymptotiques et à les étudier mathématiquement, voir l'analyse linéaire de la dispersion et de shoaling.Dans la deuxième partie, un modèle unidimensionnel des ondes longues, moyennées par section, est développé. Des équations tridimensionnelles du mouvement des fluides non visqueux et incompressibles sont d'abord intégrées sur une section transversale du canal, ce qui donne les équations de type SGN. Le nouveau modèle est donc adéquat pour décrire des ondes fortement non linéaires et faiblement dispersives le long d'un canal de section transversale arbitraire et non uniforme. Plus précisément, le nouveau modèle étend le modèle de Saint-Venant à moyenne de section et généralise les équations de Serre-Green-Naghdi à toute section.Ce nouveau modèle a été reformulé d'une manière plus appropriée pour la résolution numérique en conservant le même ordre de précision que l'original et en améliorant ses propriétés de dispersion. Enfin, nous présentons quelques simulations numériques pour étudier l'influence du changement de section sur la propagation d'une onde solitaire.La dernière partie de cette thèse est consacrée à la simulation numérique du modèle SGN avec une nouvelle reformulation.

This work focuses on the modeling and mathematical analysis of asymptotic models used in oceanography describing long wave propagation.This thesis aims to derive and justify new asymptotic models taking into account the variation in topography and cross-section.To do so, several hypotheses are formulated on water depth and cross-sectional deformations. The first part of this thesis is to put the problem into equations, and to find asymptotic models and study them mathematically, see the linear analysis of dispersion and shoaling.In the second part, a one-dimensional model of section-averaged long waves is developed. Three-dimensional equations of motion of non-viscous and incompressible fluids are first integrated over a cross-section of the channel, resulting in the SGN-type equations. Therefore, the new model is adequate to describe fully non-linear and weakly dispersive waves along a channel of an arbitrary and non-uniform cross-section. Specifically, the new model extends the Saint-Venant model to cross-section mean and generalizes the Serre-Green-Naghdi equations to any cross-section.This new model has been reformulated in a way more appropriate for numerical resolution by maintaining the same order of accuracy as the original and improving its propertiesof dispersion. Finally, we present some numerical simulations to study the influence of the change of section on the propagation of a solitary wave.The last part of this thesis is devoted to the numerical simulation of the SGN model with a new reformulation.