Reconstruction fonctionnelle et analyse d'incertitudes dans le cadre d'un problème inverse de thermodynamique

Functional reconstruction and uncertainty analysis in the frame of an inverse problem coming from chemical thermodynamics

• Auteur / Autrice : Eva Lawrence
• Direction : Fabrice Gamboa, Thierry Klein
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 17/12/2020
• Etablissement(s) : Toulouse 3
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulouse (2007-....) - Institut des Sciences Appliquées et de la Simulation pour les énergies bas carbone - DES (Gif-sur-Yvette, Essonne ; 2020-....)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Thermochimie

Statistique bayésienne

Entropie maximale, Méthode d'

Mots clés libres

Problèmes de maximisation de l'entropie

Statistique bayésienne

Modèle linéaire

Propagation de l'incertitude

Application en thermodynamique

Méthode Calphad

Entropy maximisation problems

Bayesian statistics

Linear model

Uncertainty propagation

Application in thermodynamics

Calphad method

Résumé

Cette thèse s'inscrit dans les domaines de l'apprentissage statistique et de l'analyse d'incertitude dans le cadre d'un problème de thermodynamique chimique. On s'intéresse à deux problèmes liés à la reconstruction d'une fonction f multidimensionnelle : en premier lieu, un problème de propagation de l'incertitude dans le cadre du modèle linéaire bayésien ; en second lieu, la reconstruction non paramétrique d'une fonction par maximisation d'un critère d'analyse convexe. La spécificité du problème de thermodynamique chimique considéré dans cette thèse réside dans la structure compliquée des données : les données d'assimilation ne sont pas des observations directes de la quantité f à reconstruire. Dans le cadre du modèle linéaire bayésien, on propose une méthode permettant de prendre en compte la spécificité de ce modèle. On considère un cas de thermodynamique chimique réel pour l'application de la méthode. Dans le cadre de la reconstruction non-paramétrique, on s'intéresse à la reconstruction d'une fonction f multidimensionnelle sur un compact U et telle que f satisfait un certain nombre de contraintes intégrales très générales. On se propose de résoudre ce problème de reconstruction fonctionnelle dans le cadre de la maximisation de la ƴ-entropie sous contraintes. A savoir, on se donne une fonction convexe ƴ de Rp dans R+, munie de bonnes propriétés et on s'intéresse à la maximisation sous contraintes de la quantité I_ƴ(f) = - ∫_U ƴ(f) dP. On expliquera que ce problème peut être rapproché d'un autre problème connu portant cette fois-ci sur des mesures signées F. Ces problèmes ont été étudiés dans le cas d'une unique reconstruction, à savoir une unique fonction ou une unique mesure. Nous nous proposons d'étudier le cas plus général d'une fonction ou d'une mesure à valeurs dans Rp.

The topics addressed in this thesis lie in statistical learning and uncertainty analysis within the frame of a thermodynamic problem. We are interested in two problems linked with the reconstruction of a multidimensional function f: an uncertainty propagation problem within the Bayesian linear model in the first place; a non parametric reconstruction problem using a convex analysis maximisation criterion in the second place. The specificity of the thermodynamic problem considered in this manuscript consists in the complicated structure of the data: the assimilation data are not direct observations of the quantity f to reconstruct. In the framework of the Bayesian linear model, we propose a method allowing us to take into account the thermodynamic model specificity. We consider a real case study for the application of the method. In the framework of non-parametric reconstruction problems, we are interested in the reconstruction of a multidimensional function f over a compact set U and such that f satisfies a certain amount of very general integral constraints. We propose to solve this reconstruction problem by setting it in the frame of the ƴ-entropy maximisation problem under constraints. That is, we define a convex function ƴ of Rp to R+ with some good properties and we are interested in the maximisation under constraints of the quantity I_ƴ(f) = - ∫_U ƴ(f) dP. We explain that this problem can be linked to another one that deals with signed measures F. Such problems have been studied in the case of a single function or a single measure reconstruction. We propose to study the more general case of the reconstruction of a function or a measure with values in Rp.