On the variational approach to mollification in the theory of ill-posed problems and applications

par Walter Cédric Simo Tao Lee

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Pierre Maréchal et de Anne Vanhems.

  • Titre traduit

    Sur l'approche variationnelle de la mollification dans la théorie des problèmes mal posés et applications


  • Résumé

    Les problèmes inverses constituent un domaine en pleine expansion en mathématiques appliquées qui a suscité une grande attention au cours des dernières décennies en raison de son omniprésence dans plusieurs domaines des sciences et technologies. Le plus souvent, les problèmes inverses donnent lieu à des équations mathématiques instables. Autrement dit, les solutions ne dépendent pas continument des données. En effet, de très petites perturbations sur les données peuvent causer des erreurs arbitrairement grandes sur les solutions. Étant donné que le bruit est généralement inévitable, inverser l'équation mal-posée échoue à résoudre le problème. Il est alors nécessaire d'appliquer une méthode de régularisation afin de récupérer des approximations stables des solutions. À cet égard, plusieurs techniques de régularisation ont été développées dans la littérature. Globalement, ces méthodes de régularisation peuvent être divisées en deux classes : Une classe de méthodes qui tentent de reconstruire les solutions inconnues initiales et une classe de méthodes qui tentent de reconstruire des versions lisses des solutions inconnues. L'objectif de cette thèse est de contribuer à la promotion de la deuxième classe de méthode de régularisation à travers l'étude et l'application de la formulation variationnelle de la mollification. Dans ce manuscrit, nous montrons que l'approche variationnelle de la mollification peut être étendue à la régularisation de problèmes mal-posés impliquant des opérateurs non compacts. À cet égard, nous étudions et appliquons avec succès la méthode à la régression instrumentale non-paramétrique. Une contribution supplémentaire de cette thèse est la conception et l'étude d'une nouvelle méthode de régularisation adaptée aux problèmes linéaires exponentiellement mal-posés. Une comparaison numérique de cette nouvelle méthode aux méthodes classiques de régularisation telles que Tikhonov, la spectral cut-off, la régularisation asymptotique et la méthode des gradients conjugués est effectuée sur trois problèmes test tirés de la littérature. L'aspect pratique de la sélection du paramètre de régularisation avec un niveau de bruit inconnu est également considéré. Outre l'étude et l'application des méthodes de régularisation, cette thèse traite également de l'application d'une règle de sélection de paramètres de régularisation très populaire connue sous le nom du principe de Morozov. En utilisant la dualité de Lagrange, nous fournissons un algorithme simple et rapide pour le calcul du paramètre de régularisation correspondant à cette règle pour les méthodes de régularisation du type Tikhonov. L'intérêt de cette étude est qu'elle met en avant une méthode de régularisation mal connue qui pourtant a un grand potentiel et est capable de fournir des solutions approchées comparativement meilleures que certaines techniques de régularisation classiques bien connues. Un autre apport de cette thèse est la conception d'une nouvelle méthode de régularisation qui, selon nous, est prometteuse dans la régularisation de problèmes exponentiellement mal-posés, en particulier pour les problèmes inverses de conduction thermique.


  • Résumé

    Inverse problems is a fast growing area in applied mathematics which has gained a great attention in the last decades due to its ubiquity in several fields of sciences and technology. Yet, most often, inverse problems result in mathematical equation which are unstable. That is, the solutions do not continuously depend on the data. As a matter of fact, very little perturbations on the data might cause arbitrary large errors on the solutions. Therefore, given that the noise is generally unavoidable in the data, direct attempts to solve the problem fail and one needs to apply a regularization method in order to recover stable approximates of the unknown solutions. In this respect, several regularization techniques have been developed in the literature. Globally, all these regularization methods can be split into two classes: A class of methods which attempt to reconstruct the unknown solutions and a class of methods which try to recover smooth versions of the unknown solutions. The aim of this thesis is to contribute to the promotion of the second class of regularization method via the study and application of the variational formulation of mollification. In this work, we show that the variational approach can be extended to the regularization of ill-posed problems involving non-compact operators. In this respect, we study and successfully apply the method to a problem coming from statistics namely the nonparametric instrumental regression. An additional contribution of this thesis is the design and study of a novel regularization method suitable for linear exponentially ill-posed problems. A numerical comparison of the new method to classical regularization methods such as Tikhonov, spectral cut-off, asymptotic regularization and conjugate gradient is carried out on three test problems from literature. The practical aspect of selection of the regularization parameter without knowledge of the noise level is also considered. Apart from the study and application of regularization methods, this thesis also focuses on the application of a very popular parameter selection rule known as the Morozov principle. Using Lagrange duality, we provide a simple and rapid algorithm for the computation of the regularization parameter corresponding to this rule for Tikhonov-like regularization methods. A relevance of this study is that it highlights a poorly known regularization method which yet has a great potential and is able to provide comparatively better approximate solutions compared to well-known classical regularization techniques. Another benefit of this thesis is the design of a new regularization method which, we believe, is promising in the regularization of exponentially ill-posed problems, especially for inverse heat conduction problems.


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Cette thèse a donné lieu à une publication en 2020 par Université Toulouse 3 à Toulouse

On the variational approach to mollification in the theory of ill-posed problems and applications


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Informations

  • Sous le titre : On the variational approach to mollification in the theory of ill-posed problems and applications
  • Détails : 1 vol. (132 p.)
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