Catégories des singularités, factorisations matricielles et cycles évanescents

par Massimo Pippi

Thèse de doctorat en Mathématiques et Applications

Sous la direction de Bertrand Toën et de Gabriele Vezzosi.


  • Résumé

    Le but de cette thèse est d'étudier les dg-catégories de singularités Sing(X, s), associées à des couples (X, s), où X est un schéma et s est une section d'un fibré vectoriel sur X. La dg-catégorie Sing(X, s) est définie comme le noyau du dg foncteur de Sing(X0) vers Sing(X) induit par l'image directe le long de l'inclusion du lieu de zéros (dérivé) X0 de s dans X. Dans une première partie, nous supposons que le fibré vectoriel est trivial de rang n. On démontre alors un théorème de structure pour Sing(X, s) dans le cas où X = Spec(B) est affine. Cet énoncé affirme que tout objet de Sing(X, s) est représenté par un complexe de B-modules concentré dans n+1 degrés. Lorsque n = 1, cet énoncé généralise l'équivalence d'Orlov , qui identifie Sing(X, s) avec la dg-catégorie des factorisations matricielles MF(X, s), au cas où s epsilon OX(X) n'est pas nécessairement plat. Dans une seconde partie, nous étudions la cohomologie l-adique de Sing(X, s) (définie par A. Blanc - M. Robalo - B. Toën and G. Vezzosi), où s est une section globale d'un fibré en droites. Pour cela, on introduit le faisceau l-adique des cycles évanescents invariantes par monodromie. En utilisant un théorème de D. Orlov généralisé par J. Burke et M. Walker, on calcule la réalisation l-adique de Sing(Spec(B), (f1 ,..., fn)) pour (f1 ,..., fn) epsilon Bn. Dans le dernier chapitre, nous introduisons les faisceaux l-adiques des cycles évanescents itérés pour un schéma sur un anneau de valuation discrète de rang 2. On relie ces faisceaux l-adiques à la réalisation l-adique des dg catégories de singularités des fibres prises sur certains sous-schémas fermés de la base.

  • Titre traduit

    Categories of singularities, matrix factorizations and vanishing cycles


  • Résumé

    The aim of this thesis is to study the dg categories of singularities Sing(X, s) of pairs (X, s), where X is a scheme and s is a global section of some vector bundle over X. Sing(X, s) is defined as the kernel of the dg functor from Sing(X0) to Sing(X) induced by the pushforward along the inclusion of the (derived) zero locus X0 of s in X. In the first part, we restrict ourselves to the case where the vector bundle is trivial. We prove a structure theorem for Sing(X, s) when X = Spec(B) is affine. Roughly, it tells us that every object in Sing(X, s) is represented by a complex of B-modules concentrated in n + 1 consecutive degrees (if s epsilon Bn). By specializing to the case n = 1, we generalize Orlov's theorem, which identifies Sing(X, s) with the dg category of matrix factorizations MF(X, s), to the case where s epsilon OX(X) is not flat. In the second part, we study the l-adic cohomology of Sing(X, s) (as defined by A. Blanc - M. Robalo - B. Toën and G. Vezzosi) when s is a global section of a line bundle. In order to do so, we introduce the l-adic sheaf of monodromy-invariant vanishing cycles. Using a theorem of D. Orlov generalized by J. Burke and M. Walker, we compute the l-adic realization of Sing(Spec(B), (f1 ,..., fn)) for (f1 ,..., fn) epsilon Bn. In the last chapter, we introduce the l-adic sheaves of iterated vanishing cycles of a scheme over a discrete valuation ring of rank 2. We relate one of these l-adic sheaves to the l-adic realization of the dg category of singularities of the fiber over a closed subscheme of the base.


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Cette thèse a donné lieu à une publication en 2020 par Université Toulouse 3 à Toulouse

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Informations

  • Sous le titre : Catégories des singularités, factorisations matricielles et cycles évanescents
  • Détails : 1 vol. (176 p.)
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