Points entiers généralisés sur les variétés abéliennes

Generalized integral points on abelian varieties

• Auteur / Autrice : Xuan Kien Phung
• Direction : Carlo Gasbarri
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 06/03/2020
• Etablissement(s) : Strasbourg
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences de l'information et de l'ingénieur (Strasbourg ; 1997-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche mathématique avancée (Strasbourg)
• Jury : Président / Présidente : Jean-Benoît Bost
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Carlo Gasbarri, Jean-Benoît Bost, Damian Brotbek, Pietro Corvaja, Ariyan Javan Peykar
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Damian Brotbek, Pietro Corvaja

Mots clés

Mots clés contrôlés

Surfaces elliptiques

Analyse diophantienne

Riemann, Surfaces de

Variétés abéliennes

Mots clés libres

Points entiers généralisés

Conjecture de Lang-Vojta géométrique

Variétés abéliennes

Surfaces elliptiques

Surfaces de Riemann

Generalized integral points

Geometric Lang-Vojta conjecture

Abelian varieties

Elliptic surfaces

Riemann surfaces

Résumé

L'objectif de cette thèse est l'étude des propriétés concernant la finitude, la croissance, la nonexistence générique et l'uniformité de l'ensemble des sections (S,D)-entières d'une famille des variétés abéliennes A fibrée au-dessus d'une surface de Riemann compacte B. Le sous-ensemble S de B est arbitraire et n'est pas nécessairement fini. Ces sections entières correspondent aux points rationnels de la fibre générique de A et qui ne peuvent intersecter le diviseur D de A qu'au-dessus de S. Dans ce contexte, une machinerie appelée hauteur hyperbolique-homotopique est introduite pour jouer le rôle de la théorie d'intersection. Nous démontrons plusieurs nouveaux résultats sur la finitude de certaines unions larges de sections (S, D)-entières ainsi que leur croissance polynomiale en fonction du cardinal de la restriction de S à un certain ouvert complexe petit U de B. Ces résultats sont hors de portée des méthodes purement algébriques. Ainsi, nos travaux mettent en évidence certains phénomènes nouveaux en faveur de la version géométrique de la conjecture de Lang-Vojta. Si A est une surface elliptique, les mêmes conclusions restent vraies où non seulement S mais D peuvent aussi varier en familles. Nous démontrons également un résultat négatif concernant le théorème de Parshin-Arakelov.

We study the finiteness, growth order, generic emptyness, and uniformity of the set of (S,D)-integral sections in an abelian fibration A over a compact Riemann surface B. Here, S is an arbitrary subset of B and not necessarily finite. These integral sections correspond to rational points of the generic fibre of A and which intersect the divisor D only possibly above S. We introduce in this context the so-called hyperbolic-homotopic height as a substitute for the classical intersection theory. We then establish several new results concerning the finiteness of various large unions of (S,D)-integral points and their polynomial growth in terms of the caradinality of the restriction of S in U, where the sets S is required to be finite only in a certain small open subset U of B. Such results are out of reach of a purely algebraic method. Thereby, we give some new evidence and phenomena to the Geometric Lang-Vojta conjecture. When A is an elliptic surface, we obtain the same results for certain unions of (S,D)-integral points, where both S and D are allowed to vary in certain families. A negative finiteness result concerning the Parshin-Arakelov theorem is also given.