Cocycle elliptique sur GL_N(Z) et opérateurs de Hecke

Elliptic cocycle for GL_N(Z) and Hecke operators

• Auteur / Autrice : Hao Zhang
• Direction : Pierre Charollois
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 10/09/2020
• Etablissement(s) : Sorbonne université en cotutelle avec McGill university (Montréal, Canada)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Ariane Mézard
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Nicolas Bergeron, Henri Darmon, Loïc Merel, Bernadette Perrin-Riou
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : François Brunault, Paul E. Gunnells

Mots clés

Mots clés contrôlés

Cocycles

Fonctions L

Eisenstein, Séries d'

Hecke, Opérateurs de

Mots clés libres

Forme modulaire

Opérateurs de Hecke

Cocycle elliptique

Fonction L

Cohomologie de GL_N(Z)

Symboles modulaires

Modular form

Hecke operators

Elliptic cocycle

L-function

Cohomology of GL_N(Z)

Modular symbols

Résumé

Un résultat classique d'Eichler, Shimura et Manin affirme que l’application qui assigne à une forme cuspidale f son polynôme de périodes r_f est compatible aux opérateurs de Hecke. On propose une généralisation de ce résultat à un cadre où r_f le polynôme de périodes est remplacé par une famille de fonctions rationnelles de N variables équipées de l’action de GL_N(Z). Pour cela, on développe une théorie des opérateurs de Hecke sur le cocycle elliptique récemment introduit par Charollois. En particulier, lorsque f est une forme propre, la fonction rationnelle correspondante est un vecteur propre par rapport à l’opérateur de Hecke sur GL_N(Z). De plus, les informations arithmétiques des formes modulaires sont déterminées par l’action des opérateurs de Hecke. Enfin, on donne quelques exemples pour la série d’Eisenstein et la fonction Delta de Ramanujan.

A classical result of Eichler, Shimura and Manin asserts that the map that assigns to a cusp form f its period polynomial r_f is a Hecke equivariant map. We propose a generalization of this result to a setting where r_f is replaced by a family of rational function of N variables equipped with the action of GL_N(Z). For this purpose, we develop a theory of Hecke operators for the elliptic cocycle recently introduced by Charollois. In particular, when f is an eigenform, the corresponding rational function is also an eigenvector respect to Hecke operator for GL_N(Z). Moreover, the arithmetic information of modular forms are determined by the action of Hecke operators. Finally, we give some examples for Eisenstein series and the Ramanujan Delta function.