Apprentissage des extrêmes en grande dimension

High-dimensional Learning for Extremes

• Auteur / Autrice : Nicolas Meyer
• Direction : Olivier Wintenberger
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques. Statistiques
• Date : Soutenance le 08/07/2020
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de probabilités, statistique et modélisation (Paris ; 2018-....)
• Jury : Président / Présidente : Olivier Lopez
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Thomas Mikosch, Sebastian Engelke, Anne-Laure Fougères
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Armelle Guillou, Johan Segers

Mots clés

Mots clés contrôlés

Calcul des variations

Valeurs extrêmes, Théorie des

Statistique mathématique

Mots clés libres

Extrêmes multivariés

Mesure spectrale

Projection euclidienne sur le simplexe

Sélection de modèle

Variation régulière

Variation régulière parcimonieuse

Statistique en grande dimension

Multivariate extremes

Spectral measure

Euclidean projection onto the simplex

Model selection

Regular variation

Sparse regular variation

High-dimensional statistics

Résumé

Le but de cette thèse est de développer une approche statistique permettant d’apprendre la structure de dépendance des extrêmes dans un contexte de grande dimension. Le premier chapitre rassemble les résultats principaux concernant la théorie des valeurs extrêmes multivariées. Le deuxième chapitre est un travail conjoint avec Olivier Wintenberger. Il expose le concept de variation régulière parcimonieuse, définie via la projection euclidienne sur le simplexe, et qui étend la notion standard de variation régulière. CeMe approche introduit de la parcimonie dans l’étude des extrêmes multivariés et réduit ainsi la dimension. Le troisième chapitre est un travail en cours avec Olivier Wintenberger sur une approche statistique des vecteurs aléatoires à variation régulière parcimonieuse. L’idée de ce chapitre est de proposer une méthode qui permet d’identifier les sous-ensembles de R^d sur lesquels les valeurs extrêmes se concentrent. Enfin, le quatrième chapitre propose une discussion de l’article de Engelke and Hitz (2020) dans lequel les auteurs définissent une notion d’indépendance conditionnelle pour une loi de Pareto multivariée. On étend leur approche en s’appuyant sur l’étude du minimum des marginales d’un vecteur aléatoire à variation régulière.

The aim of this thesis is to develop a statistical approach to learn the dependence structure of extremes in a high-dimensional setting. The first chapter brings together the main results concerning multivariate extreme value theory. The different tools needed in the following chapters are introduced, notably the concept of regularly varying random vectors, but also the notions of statistical learning, high-dimensional statistics and model selection. The second chapter is a joint work with Olivier Wintenberger. It outlines the concept of sparse regular variation defined via the Euclidean projection onto the simplex and which extends the standard notion of regular variation. This approach introduces sparsity into the study of multivariate extremes and thus reduces the dimension. The third chapter presents a work in progress with Olivier Wintenberger on a statistical approach of sparsely regularly varying random vectors. The idea of this chapter is to bring out a method which allows us to identify the subsets of R^d on which extremes concentrate. Finally, the fourth chapter discusses the article by Engelke and Hitz (2020) in which the authors define a notion of conditional independence for a multivariate Pareto distribution. We extend their approach with the study of the minimum of the marginals of a regularly varying random vector.