Optimisation de formes et hétérogénéité spatiale dans les équations de réaction-diffusion

Shape optimization and spatial heterogeneity in reaction-diffusion equations

• Auteur / Autrice : Idriss Mazari
• Direction : Yannick Privat
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 06/07/2020
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Jacques-Louis Lions (Paris ; 1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Jimmy Lamboley
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Benoît Perthame, Grégoire Nadin, Lorenzo Brasco, Elisa Davoli
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : François Hamel, Aldo Pratelli

Mots clés

Mots clés contrôlés

Optimisation mathématique

Équations de réaction-diffusion

Équations aux dérivées partielles

Mots clés libres

Equations de réaction-diffusion

Optimisation spectrale

Optimisation de forme

Contrôle des EDP

Inégalités quantitatives

Analyse qualitative

Reaction-diffusion equations

Spectral optimization

Shape optimization

Résumé

Cette thèse est dédiée à l'étude de problèmes d'optimisation de forme et de contrôle qui apparaissent naturellement en écologie spatiale. Considérant une population dont la densité dépend d'un terme de ressource à travers l'équation aux dérivées partielles de Fisher-KPP hétérogène en espace, on cherche à déterminer une répartition de ressources garantissant sa survie ou optimisant la taille de la population. Dans cette perspective, plusieurs approches reposant sur l'introduction et l'analyse de problèmes d'optimisation de forme et de contrôle mettant en jeu la solution de cette EDP et/ou une quantité spectrale dépendant du terme de ressource sont envisagés. L'analyse de ces problèmes nécessite : - le développement de méthodes asymptotiques pour étudier l'existence et certaines propriétés qualitatives (concentration et fragmentation des ressources) de formes optimales, ou encore la stabilité de certaines configurations de ressources ; - l'établissement d'une inégalité spectrale quantitative pour un opérateur de Schrödinger dans la boule ; - l'introduction d'une méthode perturbative pour étudier la contrôlabilité des équations de réaction-diffusion en milieu hétérogène.

This thesis is devoted to the study of shape optimisation and control problems stemming from the study of spatial ecology. Assuming we are working with a population whose density depends on a spatially heterogeneous Fisher-KPP equation involving a resources distribution, we wish to investigate which of these resources distributions optimises the survival, or total population size of the population. In order to study such questions, we introduce and analyse several shape optimisation and control problems involving the solutions of reaction-diffusion PDEs and/or spectral quantities that depend on the resources distribution. The analysis of these problems leads to- developing asymptotic methods to study the existence and some qualitative properties (e.g concentration, fragmentation) of optimal shapes, as well as their stability;-proving a quantitative spectral inequality for a Schrödinger operator in the ball;-introducing a perturbative method to study controllability properties of spatially heterogeneous reaction-diffusion equations.