Méthodes de Schwarz et équations intégrales de frontière

Schwarz methods and boundary integral equations

• Auteur / Autrice : Pierre Marchand
• Direction : Xavier Claeys, Frédéric Nataf
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 21/01/2020
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Jacques-Louis Lions (Paris ; 1997-....) - Institut national de recherche en informatique et en automatique (France). Unité de recherche (Rocquencourt, Yvelines ; 1971-2015)
• Jury : Président / Présidente : Frédéric Hecht
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Stéphanie Chaillat
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Xavier Antoine, Timo Betcke

Mots clés

Mots clés contrôlés

Éléments-frontières, Méthode des

Fonction de Schwarz

Décomposition de domaines (mathématiques)

Mots clés libres

Analyse numérique

Méthodes de décomposition de domaine

Méthodes de Schwarz

Équations intégrales de frontière

Méthode des éléments finis de frontière

Préconditionneurs à deux niveaux

Matrices hiérarchiques

Numerical analysis

Domain decomposition methods

Schwarz methods

Boundary integral equations

Boundary element method

Two-level preconditioners

Hierarchical matrices

Résumé

L'objectif de cette thèse est d'utiliser des méthodes de décomposition de domaine pour mettre au point de nouvelles méthodes pour le calcul haute performance et les équations intégrales de frontière. Dans le cas des équations intégrales de frontière, on peut penser à deux approches de décomposition de domaine. Nous pouvons faire une décomposition du domaine où la solution est recherchée, une décomposition volumique, puis formuler une équation intégrale de frontière dans chaque sous-domaine en les couplant. Ou nous pouvons d'abord établir une équation intégrale de frontière et ensuite appliquer une décomposition de domaine à la frontière, une décomposition surfacique. Dans la première approche, nous montrons que la variante locale de la formulation multi-trace, naturellement bien adaptée à la parallélisation, possède des propriétés de convergence optimales dans le cas de coefficients constants dans tout le domaine pour une géométrie sans points de jonction. Cette propriété est similaire à la convergence de la méthode optimale de Schwarz, et nous prouvons en réalité une équivalence entre ces deux méthodes. Des tests numériques sont fournis pour illustrer la propriété de convergence et montrer les potentialités et les limites de cette approche lorsque les coefficients sont constants par morceaux au lieu de constants dans l'ensemble du domaine. Dans la deuxième approche, nous présentons comment nous utilisons le cadre du lemme de l'espace fictif et l'approche de l'espace grossier GenEO (Generalized Eigenproblems in the Overlap) pour définir plusieurs préconditionneurs à deux niveaux pour l'opérateur hypersingulier associé à toute équation symétrique et définie positive. Des expériences numériques sont fournies pour montrer leur extensibilité en termes d'itérations avec la méthode du gradient conjugué et GMRes. Pour pouvoir utiliser les préconditionneurs de Schwarz et la méthode des éléments finis de frontière, nous devons également adapter une méthode de compression à un environnement parallèle à mémoire distribuée. Cela nous a conduit à implémenter une bibliothèque C++ pour les matrices hiérarchiques parallélisée en utilisant MPI et OpenMP.

The objective of this thesis is to use domain decomposition methods to develop new efficient methods for high performance computing and boundary integral equations. One can think of two approaches for domain decomposition. One can make a decomposition of the original domain where the solution is sought, a volume decomposition, and then formulate a boundary integral equation in each subdomain with some ways of coupling them. Or we could first set up a boundary integral equation and then apply a domain decomposition of the boundary, a surface decomposition. In the first approach, we show that the local variant of the multi-trace formulation, which is naturally well-adapted to parallelization, has optimal properties of convergence in the case of constant coefficients in the whole domain for a geometry without junction points. This property is similar to the convergence of the optimal Schwarz method, and we actually prove an equivalence between these two methods. Numerical tests are provided to illustrate the convergence property and show the potentialities and the limits of this approach when coefficients are piecewise constants instead of constants in the whole domain. In the second approach, we present how we use the framework of the fictitious space lemma and the approach of the GenEO (Generalized Eigenproblems in the Overlap) coarse space to define several two-level preconditioners for the hypersingular operator associated with any symmetric positive definite equation. Numerical experiments are provided to show scalability in terms of iterations using the conjugate gradient method and GMRes. To be able to use Schwarz preconditioners and the boundary element method, we also need to adapt a compression method to a distributed-memory parallel framework. This led us to implement Htool, a C++ library for hierarchical matrices parallelized using MPI and OpenMP.