Estimation par maximum de vraisemblance dans des modèles à blocs stochastiques dynamiques ou spatiaux

Maximum likelihood estimation in dynamic or spatial stochastic block models

• Auteur / Autrice : Léa Longepierre
• Direction : Catherine Matias
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 02/07/2020
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de probabilités, statistique et modélisation (Paris ; 2018-....)
• Jury : Président / Présidente : Fabrice Rossi
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Matthieu Latapy, Nathalie Peyrard
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Christine Keribin, Nial Friel

Mots clés

Mots clés contrôlés

Processus stochastiques

Graphes aléatoires

Champs aléatoires de Markov

Graphes dynamiques

Estimation, Théorie de l'

Mots clés libres

Estimation par maximum de vraisemblance

Modèle à blocs stochastiques

Graphes dynamiques

Graphes spatiaux

Consistance

Champs aléatoires de Markov

Estimateur variationnel

Maximum likelihood estimation

Stochastic block model

Dynamic network

Spatial network

Potts model

Temporal network

Markov random field

Variational estimation

Résumé

Cette thèse porte sur le maximum de vraisemblance dans des versions dynamiques et spatiales du modèle à blocs stochastiques (SBM) fondées respectivement sur des chaînes et champs de Markov cachés. D’abord, on considère une version dynamique du SBM adaptée à l’observation de réseaux à différents pas de temps. Dans ce modèle, les nœuds sont répartis dans des groupes latents et la connexion entre deux nœuds suit une loi de Bernoulli dont le paramètre dépend du groupe de ces nœuds. L’évolution temporelle des appartenances aux groupes est modélisée par une chaîne de Markov cachée. On prouve la consistance (lorsque les nombres de nœuds et pas de temps augmentent) des estimateurs du maximum de vraisemblance et variationnels des paramètres, et on obtient des bornes supérieures pour leur taux de convergence. On explore aussi le cas où le nombre de pas de temps est fixé et les probabilités de connexion varient dans le temps. On obtient également des résultats concernant l’identifiabilité des paramètres. Ensuite, on introduit une version spatiale du SBM adaptée à l’observation de réseaux à différentes localisations. Les nœuds sont répartis dans des groupes latents et la connexion entre deux nœuds suit une loi de Bernoulli dont le paramètre dépend du groupe de ces nœuds. L’évolution spatiale des appartenances aux groupes des nœuds est modélisée par des champs de Markov cachés. On montre que le paramètre est génériquement identifiable sous certaines conditions. Pour l’estimation des paramètres, on propose d’adapter à notre modèle une variante de l’algorithme Espérance-Maximisation (EM) reposant sur une approximation de type champ moyen grâce à la simulation de configurations latentes.

This thesis deals with maximum likelihood estimation in dynamic and spatial extensions of the stochastic block model (SBM), based respectively on hidden Markov chains and fields. First, we consider a dynamic version of the stochastic block model, suited for the observation of networks at multiple time steps. In this dynamic SBM, the nodes are partitioned into latent classes and the connection between two nodes is drawn from a Bernoulli distribution depending on the classes of these two nodes. The temporal evolution of the nodes memberships is modeled by a hidden Markov chain. We prove the consistency (as the numbers of nodes and time steps increase) of the maximum likelihood and variational estimators of the parameters and obtain upper bounds on their rates of convergence. We also explore the case where the number of time steps is fixed and the connectivity parameters are allowed to vary. Besides, we obtain some results regarding parameter identifiability. Second, we introduce a spatial version of the SBM, suited for the observation of networks at different spatial locations. As before, the nodes are partitioned into latent classes and the connection is drawn from a Bernoulli distribution depending on the classes of these two nodes. The spatial evolution of the nodes memberships is modeled through hidden Markov random fields. We first prove that the parameter is generically identifiable under certain conditions. For the estimation of the parameters, we propose an algorithm based on the simulated field Expectation-Maximisation (EM) algorithm, a variation of the EM algorithm relying on a mean field like approximation based on the simulation of latent configurations.