Le problème d'évolution en relativité générale

The evolution problem in general relativity

• Auteur / Autrice : Olivier Graf
• Direction : Jérémie Szeftel
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 17/12/2020
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Jacques-Louis Lions (Paris ; 1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Jacques Smulevici
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Philippe G. LeFloch, Cécile Huneau, Dietrich Häfner
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Arick Shao, Jonathan Luk

Mots clés

Mots clés contrôlés

Champs de jauge (physique)

Relativité générale (physique)

Espaces généralisés

Einstein, Équations du champ d'

Cauchy, Problème de

Mots clés libres

Relativité générale

Problème de Cauchy

Espace de Minkowski

Faible régularité

Stabilité asymptotique

Hypersurfaces maximales et caractéristiques

General relativity

Cauchy problem

Minkowski space

Low regularity

Asymptotic stability

Maximal and characteristic hypersurfaces

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude du problème de Cauchy pour les équations d'Einstein dans le vide de la relativité générale. On s'intéresse plus particulièrement à l'étude locale et globale en temps des solutions pour des données initiales prescrites sur une hypersurface de genre espace et une hypersurface de genre lumière/caractéristique. Nous obtenons pour ce problème de Cauchy spatial-caractéristique une généralisation du théorème de courbure L2 de Klainerman-Rodnianski-Szeftel. Nous obtenons également une généralisation du théorème de la stabilité asymptotique non-linéaire de l'espace-temps de Minkowski de Christodoulou-Klainerman. Le point commun entre ces deux généralisations est l'introduction de nouveaux choix de jauges, consistant en des feuilletages de l'espace-temps adaptés au problème de Cauchy spatial-caractéristique. Ceux-ci permettent de localiser et d'appliquer (en boîte noire ou à quelques modifications près) les théorèmes originaux correspondant à nos résultats. En particulier, nous introduisons ou généralisons l'étude de feuilletages par des cônes de lumière à sommets ou sections sphériques prescrits, par des hypersurfaces spatiales maximales à bord prescrits, ainsi que l'étude de coordonnées (canoniques, géodésiques ou harmoniques) sur ces hypersurfaces. Ces choix de jauge et l'analyse des équations d'Einstein sous ces conditions constituent le point central de cette thèse.

This thesis is devoted to study the Cauchy problem for Einstein vacuum equations of general relativity. More precisely, we investigate local and global existence of solutions when initial data are prescribed on a spacelike and on a characteristic/null hypersurface. For this spacelike-characteristic Cauchy problem, we obtain a generalisation of the bounded L2 curvature theorem of Klainerman-Rodnianski-Szeftel. We also obtain a generalisation of the global nonlinear stability of Minkowski space of Christodoulou-Klainerman. The common feature to these two generalisations is the introduction of new gauge choices which consist in spacetime foliations adapted to the spacelike-characteristic setting. This enables to apply (as a black box or up to some modification) the original theorems corresponding to our results. In particular, we introduce or generalise the study of foliations by null cones with prescribed vertices or prescribed spherical sections, maximal spacelike hypersurfaces with prescribed boundaries, as well as the study of coordinates (canonical, geodesic or harmonic) on these hypersurfaces. These gauge choices and the analysis of the Einstein equations under these conditions are the centre of this thesis.