Contrôle bilinéaire d’équations d’évolution

Bilinear control of evolution equations

• Auteur / Autrice : Cristina Urbani
• Direction : Piermarco Cannarsa, Fatiha Alabau-Boussouira
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 22/05/2020
• Etablissement(s) : Sorbonne université en cotutelle avec Gran Sasso Science Institute (L'Aquila, Italie)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Jacques-Louis Lions (Paris ; 1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Mario Sigalotti
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Karine Beauchard, Michele Palladino, Elisabetta Rocca
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Olivier Glass, Monica Conti

Mots clés

Mots clés contrôlés

Moments, Méthodes des (statistique)

Méthode de transformation bilinéaire

Équations d'évolution

Équations différentielles dégénérées

Mots clés libres

Contrôle bilinéaire

Équation d’évolution

Stabilisation

Équation dégénérée

Méthode des moments

Algorithme

Bilinear control

Stabilization

Evolution equations

Degenerate equations

Moment method

Algorithm

Résumé

La thèse est consacrée à l'étude de la stabilisation et de la contrôlabilité des équations d'évolution u'(t) + Au (t) + p (t) Bu (t) = 0 au moyen d'un contrôle bilinéaire ''p''. Les contrôles bilinéaires sont des coefficients de l'équation qui multiplient la variable d’état et permettent de décrire des processus qui modifient leurs principaux paramètres en présence d'un contrôle. Nous présentons d'abord un résultat de stabilisation rapide des équations paraboliques vers l’état fondamental par contrôle bilinéaire avec un taux de convergence doublement exponentiel. Sous des hypothèses plus fortes sur le potentiel B, nous montrons des résultats de contrôlabilité exacte locale et globale en temps arbitrairement petit. Nous appliquons ces résultats abstraits à différents types d’EDP comme l’équation de la chaleur, ou des équations paraboliques avec coefficients non constants.Nous montrons ensuite un résultat de contrôlabilité exacte locale de l'équation des ondes dégénérées basé sur une analyse des propriétés spectrales de l'opérateur dégénéré elliptique.Puis nous présentons une méthode de construction d'opérateurs multiplicatifs B vérifiant les hypothèses suffisantes requises pour les résultats de contrôlabilité ou de stabilisation basés sur la méthode des moments. Cette méthode conduit à des algorithmes constructifs de familles explicites infinies de tels opérateurs B. Nous démontrons de nouveaux résultats de contrôlabilité locale pour l'équation de Schrödinger avec des conditions aux limites hybrides. Nous donnons également des applications de notre méthode aux équations paraboliques avec des résultats de contrôles bilinéaires explicites par rapport aux opérateurs B.

The thesis is devoted to the study of the stabilization and the controllability of the evolution equations u'(t) + Au (t) + p (t) Bu (t) = 0 by means of a bilinear control “p”. Bilinear controls are coefficients of the equation that multiply the state variable. Multiplicative controls are therefore suitable to describe processes that change their principal parameters in presence of a control. We first present a result of rapid stabilization of the parabolic equations towards the groundstate by bilinear control with a doubly exponential rate of convergence. Under stronger hypotheses on the potential B, we show results of exact local and global controllability towards the solution of the ground state in arbitrarily small time. We apply these two abstract results to different types of PDE such as the heat equation, or parabolic equations with non-constant coefficients.We then prove local exact controllability of a class of degenerate wave equations relying on asharp analysis of the spectral properties of the elliptic degenerate operators.We then present a method of constructing multiplicative operators B verifying the sufficient hypotheses required for controllability or stabilization results. This method leads to constructive algorithms of infinite explicit families of such operators B. We then prove new controllability results for the Schrödinger equation with hybrid boundary conditions. We also give applications of our method to parabolic equations leading to results of rapid stabilization, local and global controllability to the ground state which are explicit with respect to the operators B.