Procyclicité des mesures de risque. Quantification empirique et confirmation théorique

Pro-cyclicality of risk measurements. Empirical quantification and theoretical confirmation

• Auteur / Autrice : Marcel Bräutigam
• Direction : Marie Kratz
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 27/02/2020
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de probabilités, statistique et modélisation (Paris ; 2018-....)
• Jury : Président / Présidente : Rama Cont
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Olivier Wintenberger, Liudas Giraitis, Michel Dacorogna
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Patrice Bertail, Valérie Chavez-Demoulin

Mots clés

Mots clés contrôlés

Modèles mathématiques

Gestion du risque

Estimation, Théorie de l'

Théorème de la limite centrale

Volatilité (finances)

Distribution asymptotique (théorie des probabilités)

Mots clés libres

Estimateur de quantile

Value-at-risk

Volatilité

Distribution asymptotique

Corrélation

Marchés financiers

Processus de mesure des risques

GARCH

Quantile estimator

Value-at-risk

Volatility

Asymptotic distribution

Correlation

Financial markets

Risk mesure process

GARCH

Résumé

Cette thèse analyse, d’un point de vue empirique et théorique, la procyclicité des mesures de risque sur les données historiques, i.e. l'effet de surestimation du risque futur en temps de crise, et sa sous-estimation en temps normal. Nous développons une méthodologie pour évaluer empiriquement le degré de procyclicité, en introduisant un processus de quantiles (« Value-at-Risk ») historiques pour mesurer le risque. En appliquant cette procédure à 11 indices boursiers, nous identifions deux facteurs expliquant la procyclicité : le « clustering » et le retour à la moyenne de la volatilité (tel que modélisée par un GARCH(1,1)), mais aussi la façon intrinsèque d'estimer le risque sur des données historiques (même en l'absence de dynamique de la volatilité). Pour confirmer théoriquement ces arguments, nous procédons en deux étapes. Premièrement, nous démontrons des théorèmes bivariés (fonctionnels) de limite centrale pour les estimateurs de quantiles avec différents estimateurs de dispersion. Comme modèles de base, nous considérons les suites de variables aléatoires iid, ainsi que la classe des processus GARCH(p,q) augmentés. Enfin, ces résultats asymptotiques permettent de valider théoriquement la procyclicité observée empiriquement. Généralisant cette étude à d’autres mesures de risque et de dispersion, nous concluons que la procyclicité persistera quel que soit le choix de ces mesures.

This thesis examines, empirically and theoretically, the pro-cyclicality of risk measurements made on historical data. Namely, the effect that risk measurements overestimate the future risk in times of crisis, while underestimating it in quiet times. As starting point, we lay down a methodology to empirically evaluate the amount of pro-cyclicality when using a sample quantile (Value-at-Risk) process to measure risk. Applying this procedure to 11 stock indices, we identify two factors explaining the pro-cyclical behavior: The clustering and return-to-the-mean of volatility (as modeled by a GARCH(1,1)) and the very way of estimating risk on historical data (even when no volatility dynamics are present). To confirm these claims theoretically, we proceed in two steps. First, we derive bivariate (functional) central limit theorems for quantile estimators with different measure of dispersion estimators. We establish them for sequences of iid random variables as well as for the class of augmented GARCH(p,q) processes. Then, we use these asymptotics to theoretically prove the pro-cyclicality observed empirically. Extending the setting of the empirical study, we show that no matter the choice of risk measure (estimator), measure of dispersion estimator or underlying model considered, pro-cyclicality will always exist.