Aspects quantitatifs des sous-groupes d’Anosov agissant sur les espaces symétriques

Quantitative aspects of Anosov subgroups acting on symmetric spaces

• Auteur / Autrice : Leon Seibal Carvajales Goyetche
• Direction : Andrés Sambarino, Rafaël Potrie
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 10/07/2020
• Etablissement(s) : Sorbonne université en cotutelle avec Universidad de la República (Montevideo)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Fanny Kassel
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Sébastien Alvarez, Anna Katharina Wienhard, Gilles Courtois
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Françoise Dal'Bo

Mots clés

Mots clés contrôlés

Difféomorphismes

Théorie ergodique

Géométrie de Riemann

Espaces symétriques

Mots clés libres

Espaces symétriques Riemanniens

Espaces symétriques pseudo-Riemanniens

Représentations d’Anosov

Problèmes de comptage

Théorie ergodique

Théorie de Lie

Symmetric spaces

Anosov representations

Counting problems

Résumé

L’objet de cette thèse est l’étude du problème de comptage orbitale pour des couples symétriques pseudo-Riemanniens sous l’action des sous-groupes de type Anosov du groupe de Lie sous-jacent. Premièrement nous étudions ce problème pour le couple symétrique (PSO(p,q), PSO(p,q−1)) et un sous-groupe de PSO(p,q) de type projectivement Anosov . Nous regardons l’orbite d’une copie géodésique de l’espace symétrique Riemannien de PSO(p,q−1) dans l’espace symétrique Riemannien de PSO(p,q). Nous prouvons un comportement asymptotique purement exponentiel, lorsque t tend vers l’infini, pour le nombre d’éléments dans cette orbite qui sont à distance plus petit que t de la copie géodésique originale. Nous interprétons ce résultat comme le comportement asymptotique du nombre de segments géodésiques de type espace (dans l’espace hyperbolique pseudo-Riemannien) de longueur maximale t dans l’orbite d’un point base. Nous prouvons des résultats analogues pour d’autres fonctions de comptage. Ensuite nous regardons le couple symétrique (PSL(d,R), PSO(p,d−p)) et un sous-groupe Borel-Anosov de PSL(d,R). Nous présentons des contributions vers la compréhension du comportement asymptotique de la fonction de comptage associée à une copie géodésique de l’espace symétrique Riemannien de PSO(p,d-p) dans l’espace symétrique Riemannien de PSL(d,R).

This thesis addresses the study of the orbital counting problem for pseudo-Riemannian symmetric pairs under the action of Anosov subgroups of the underlying Lie group. In the first part we study this problem for the pair (PSO(p,q), PSO(p,q−1)) and a projective Anosov subgroup of PSO(p,q). We look at the orbit of a geodesic copy of the Riemannian symmetric space of PSO(p,q−1) inside the Riemannian symmetric space of PSO(p,q). We show a purely exponential asymptotic behavior, as t goes to infinity, for the number of elements in this orbit which are at distance at most t from the original geodesic copy. We then interpret this result as the asymptotic behavior of the amount of space-like geodesic segments (in the pseudo-Riemannian hyperbolic space) of maximum length t in the orbit of a basepoint. We prove analogue results for other related counting functions. In the second part we look at the pair (PSL(d,R), PSO(p,d−p)) and a Borel-Anosov subgroup of PSL(d,R), presenting contributions towards the understanding of the asymptotic behavior of the counting function associated to a geodesic copy of the Riemannian symmetric space of PSO(p,d-p) inside the Riemannian symmetric space of PSL(d,R).