Résultats sur la contrôlabilité à zéro de quelques systèmes paraboliques et dispersifs

Results about the null controllability of some parabolic and dispersive systems

• Auteur / Autrice : Jon Asier Bárcena Petisco
• Direction : Sergio Guerrero Rodriguez
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 03/09/2020
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Jacques-Louis Lions (Paris ; 1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Franck Boyer
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jean-Michel Coron, Karine Beauchard, Sylvain Ervedoza, Enrique Fernández-Cara
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Enrique Zuazua, Marius Tucsnak

Mots clés

Mots clés contrôlés

Korteweg-de Vries, Équation de

Matrices de Stokes

Équation de la chaleur

Contrôlabilité à zéro

Mots clés libres

Contrôlabilité à zéro

Contrôlabilité uniforme

Equation de la chaleur

Inégalité de Carleman

Systèmes de Korteweg-de Vries

Systèmes de Stokes

Carleman inequalities

Heat equation

Korteweg-de Vries systems

Null controllability

Stokes systems

Uniform controllability

Résumé

Dans ce mémoire on étudie, en adaptant les techniques de Fursikov-Imanuvilov, la contrôlabilité à zéro par l'intermédiaire de contrôles localisés à l'intérieur de quelques systèmes paraboliques et dispersifs. Plus précisément, dans le Chapitre 2 on démontre que, à l'aide d'une hypothèse géométrique, on peut contrôler à zéro un système pénalisé de Stokes dans un domaine Ω ⊂ ℝ² à l'aide d'une force scalaire et avec le coût du contrôle uniforme par rapport au paramètre qui tend vers zéro. Dans le Chapitre 3 on étudie le coût du contrôle d'un système de Stokes avec des conditions aux limites de non-glissement, un terme de transport et un coefficient de viscosité qui tend vers 0. Plus concrètement, on montre que dans (0, π)² le coût décroît exponentiellement pour tout temps T assez grand, tandis que dans (0, π)³ le coût croît exponentiellement pour tout temps T > 0 si le contrôle est localisé dans un ensemble inclus compactement dans (0, π)³. Dans le Chapitre 4 on prouve la contrôlabilité à zéro de l'équation de la chaleur dans des domaines avec une partie cylindrique et limités par un graphe Lipschitz. Pour conclure, dans le Chapitre 5 on montre la contrôlabilité locale à zéro d'un système de KdV couplé qui modélise l'interaction de deux ondes solitaires internes dans un conduit et exercent le contrôle dans une unique composante.

In this thesis we study, adapting the techniques of Fursikov-Imanuvilov, the null controllability via controls localized in the interior of various parabolic and dispersive systems. In particular, in Chapter 2 we prove that, considering a geometric hypothesis, we can control to zero a penalized Stokes system in a domain Ω ⊂ ℝ² with a scalar force and with the cost of the control uniform with respect to the parameter which tends to zero. In Chapter 3 we study the cost of the control of a Stokes system with no-slip boundary conditions, a transport term and a coefficient of viscosity which decays to 0. In particular, we show that in (0, π)² the cost decays exponentially for all time T big enough, while in (0, π)³ the cost explodes exponentially for all time T > 0 if the control is localized in a set compactly included in (0, π)³. In Chapter 4 we prove the null controllability of the heat equation in domains with a cylindrical part and limited by a Lipschitz graph. To conclude, in Chapter 5 we prove the local null controllability of a KdV coupled system which models the interaction of two solitary internal waves in a stratified fluid and where the control acts in a unique component.