Caractères de groupes algébriques sur Q et mesures invariantes sur les solénoïdes

Characters of algebraic groups over Q and invariant measure on solenoids

• Auteur / Autrice : Camille Francini
• Direction : Bachir Bekka
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 06/07/2020
• Etablissement(s) : Rennes 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et sciences et technologies de l'information et de la communication (Rennes)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche mathématique (Rennes ; 1996-....)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie ergodique

Solénoïdes

Groupes algébriques

Mots clés libres

Algèbres d’opérateurs

Théorie ergodique

Groupes algébriques

Solénoïdes

Trou spectral

Algebraic groups

Solenoids

Résumé

Cette thèse comporte deux parties dans lesquelles les mesures de probabilités invariantes sur les solénoïdes jouent un rôle majeur. Les solénoïdes (c’est-à-dire les groupes abéliens compacts connexes de dimension topologique finie) sont des généralisations naturelles des tores usuels. Dans la première partie, nous étudions les groupes de transformations affines de solénoïdes ; nous obtenons une condition nécessaire et suffisante pour que l’action d’un tel groupe possède un trou spectral quand le solénoïde est muni de la mesure de Haar. Dans la deuxième partie nous étudions les traces et caractères des groupes algébriques sur le corps des nombres rationnels. Les traces d’un groupe dénombrable sont des fonctions de type positif sur le groupe qui sont invariantes par conjugaison. Les caractères (c’est-à-dire les traces qui sont indécomposables dans un certain sens) sont des généralisations des caractères usuels des représentations de dimension finie et interviennent en théorie des algèbres d’opérateurs ainsi que dans l’étude des sous-groupes distingués aléatoires. Nous commençons par classifier ces caractères dans le cas des groupes unipotents. Puis nous étendons cette classification au cas des groupes algébriques généraux, à l’aide de l’étude du cas unipotent et de la détermination des mesures invariantes sur les solénoïdes adéliques.

This thesis is divided in two parts in which the invariant probability measures on solenoids play a major role. The solenoids (that is a compact finite dimensional connected abelian group) are a natural generalization of the usual torus. In the first part, we will study the action of groups on a solenoid by affine transformation; we obtain a necessary and sufficient condition for the action of such a group to have the spectral gap property when the solenoid is provided with the Haar measure. In the second part we will study the trace and characters of algebraic groups over the field of rational numbers. The trace of a countable group are function of positive type on the group which are invariant under conjugation. The characters (that are the indecomposable traces in a certain way) are generalization of the usual characters of finite dimensional representations and intervene in the theory of operator algebra and in the study of invariant random subgroups. We begin with the classification of this characters in the case of unipotent groups. Then we extend this classification to general algebraic groups, using the study of the unipotent case et the establishment of the invariant measure on adelic solenoids.