Dynamique aléatoire dans des diagrammes de Young et sur la droite réelle

Random dynamics in Young diagrams and on the real line

• Auteur / Autrice : Anna Gordenko
• Direction : Christophe Dupont, Victor Kleptsyn
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 15/12/2020
• Etablissement(s) : Rennes 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et sciences et technologies de l'information et de la communication (Rennes)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche mathématique (Rennes ; 1996-....)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Young, Tableaux de

Systèmes dynamiques aléatoires

Mots clés libres

Dynamique aléatoire

Tableaux de Young

TASEP

Mesure stationnaire

Random dynamics

Young diagrams

TASEP

Stationary measure

Résumé

Cette thèse concerne l'étude de dynamique aléatoire dans deux situations différentes : celle des tableaux de Young aléatoires et celle de la dynamique sur la droite réelle. La première partie est consacrée à l’étude de tableaux de Young aléatoires et de leur comportement limite. Il s’avère que la description locale d’un tableau de Young aléatoire de grande taille donnée est reliée à un nouveau processus, une modification de TASEP (Totally Asymmetric Simple Exclusion Process). Je détermine l'entropie topologique et la mesure d'entropie maximale de cette modification, qui se révèle être déterminantale. J’utilise cette description pour écrire le principe variationnel des tableaux de Young aléatoires, ainsi que pour retrouver les noyaux de processus de perles et pour donner une explication de l'apparition du processus de sinus sur le bord des diagrammes de Young aléatoires. La deuxième partie est consacrée à l’étude de systèmes dynamiques aléatoires sur la droite réelle. J’étudie la dualité entre le comportement dynamique des systèmes formés par une famille d'applications et par celui de leurs inverses. Il se révèle que sous des hypothèses assez faibles, il n'y a que quatre comportement possibles pour les couples formés par ces systèmes et leur inverse, ces comportements se décrivent selon l'existence d’une mesure stationnaire finie, infinie ou semi-infinie, et selon les propriétés de récurrence et de convergence des points vers l’infini.

This thesis is devoted to the study of random dynamics in two different situations, for the random Young tableaux and on the real line. The first part is devoted to the study of random Young tableaux and to the question of their limit behaviour. It turns out that the local description of a random Young tableau of a large given shape is related to a new process, a modification of the TASEP (Totally Asymmetric Simple Exclusion Process). For this modification, I find its topological entropy as well as the measure of maximal entropy, that turns out to be determinantal. I use this description to write down the variational principle for the random Young tableaux, as well as to re-obtain the kernel for the beads processus and to give an explanation for the appearance of the sine-process on the border of random Young diagrams. The second part is devoted to the study of dynamical systems on the real line. I study the duality of behaviour between such systems and the systems formed by the inverse maps. It turns out that under sufficiently weak assumptions, any system (together with the system of inverses) falls in one of the four classes of possible behaviour (concerning the existence of a finite, infinite or semi-infinite measure, as well as its recurrence or orbits converging to the infinity).