Processus cinétiques dans les domaines à bord et quasi-stationnarité

Kinetic processes on domains with boundaries and quasi-stationnarity

• Auteur / Autrice : Mouad Ramil
• Direction : Tony Lelièvre, Julien Reygner
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 10/12/2020
• Etablissement(s) : Paris Est
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne ; 2010-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre d'enseignement et de recherche en mathématiques et calcul scientifique (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : MATHematics for MatERIALS
• Jury : Président / Présidente : Sylvie Méléard
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Julien Reygner, Martin Kolb, Marjolaine Puel, Tony Lelièvre, Pierre Collet, Max Fathi, Denis Villemonais
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Martin Kolb, Marjolaine Puel

Mots clés

Mots clés contrôlés

Markov, Processus de

Fokker-Planck, Équation de

Langevin, Équation de

Mots clés libres

Metastabilité

Processus de Langevin

Distribution quasi-Stationnaire

Metastability

Langevin process

Quasi-Stationary distribution

Résumé

Cette thèse est décomposée en trois parties chacune portant sur des interrogations reliées à l’étude du processus de Langevin, décrit en tout temps comme un vecteur (position, vitesse). Nous nous plaçons ici en dimension quelconque et l’étude menée se fera en combinant outils probabilistes et outils plus analytiques. La première partie se concentre sur l’extension de certains résultats de la théorie parabolique sur des domaines bornés à la théorie dégénérée associée à l’opérateur de Fokker-Planck cinétique sur une domaine D borné suivant certaines coordonnées de position uniquement. Nous obtenons dans cette partie l’existence et l’unicité de solutions classiques à l’équation de Fokker-Planck cinétique sur le domaine D. Nous obtenons également une inégalité d’Harnack ainsi qu’un principe du maximum associés à l’opérateur de Fokker-Planck cinétique. Finalement, nous obtenons un résultat de compacité dans l’ensemble des fonctions continues bornés dans du semi-groupe du processus de Langevin absorbé au bord de D . .Ces résultats s’avéreront utiles dans la deuxième partie pour prouver notamment l’existence d’une unique distribution quasi-stationnaire pour le processus de Langevin dans le domaine D. Nous aurons alors également une convergence de la loi du processus conditionné à rester dans D durant [0,t], lorsque t tend vers l’infini., vers la DQS. Nous étudierons également la DQS obtenue et expliciterons son comportement limite lorsque le paramètre de friction dans l’équation de Langevin tend vers l’infini. Finalement, nous considérerons dans la dernière partie une chaîne de Markov construite à partir des entrées/sorties successives du processus de Langevin dans par un domaine. Nous étudierons alors la stationnarité de la chaîne de Markov obtenue

This thesis is divided into three parts, each one focuses on a different problem related to the study of the Langevin process, described at each time by its position and velocity vectors. We consider here an arbitrary dimension and for the purpose of this work, different tools, probabilistic tools as well as more analytic tools, are combined.The first part focuses on the extension of certain results statisfied in the parabolic theory on smooth bounded domains to the degenerate case of the kinetic Fokker-Planck operator on a domain D, only bounded with respect to its position coordinates. We obtain in this part the existence of a unique classical solution to the kinetic Fokker-Planck equation on a domain D with initial conditions and homogeneous Dirichlet boundary conditions. We also obtain a Harnack inequality as well as a Maximum principle associated to the kinetic Fokker-Planck operator. Finally, we obtain a compactness result on the set of bounded continuous functions of the semigroup of the Langevin process absorbed at the boundary of D.The results prove to be useful in the second part to prove the existence of a unique quasi-stationary distribution (QSD) for the Langevin process on the domain D. We also obtain a weak convergence of the law of the Langevin process conditioned to stay in D during [0,t], when t goes to infinity, towards its QSD. We also consider the obtained QSD and explicit its weak limit when the friction pramater in the equation satisfied by the Langevin process goes to infinity.Finally, we consider in the last part a Markov chain obtained from the successive entry and exit points of a domain for the Langevin process. We then study the stationarity of this Markov chain