Analyse et contrôle de quelques problèmes aux limites en mécanique du contact

Control and analysis of several boundary problems in Contact Mecanics

• Auteur / Autrice : Maxime Couderc
• Direction : Mircea Sofonea, Mikaël Barboteu
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 15/10/2020
• Etablissement(s) : Perpignan
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Énergie environnement (Perpignan ; 1999-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Modélisation pluridisciplinaire et simulations (Perpignan) - LAboratoire de Mathématiques et PhySique
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Laetitia Paoli, Serge Dumont, Annick Truffert
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Laetitia Paoli

Mots clés

Mots clés contrôlés

Mécanique du contact

Inégalités (mathématiques)

Commande, Théorie de la

Problèmes aux limites

Mots clés libres

Inéquations quasi variationnelle

Opérateur de mémoire

Contact avec et sans frottement

Lois de comportement élastique et viscoélastique

Formulation variationnelle

Probléme dual

Solution faible

Contrôle optimal

Convergence dans le sense de Mosco

Quasivariational inequality

History-dependent operator

Duality

Frictional and frictionless contact

Elastic and viscoelastic constitutive law

Variational formulation

Dual problem

Weak solution

Optimal control

Mosco convergence

Résumé

Le sujet de cette thèse porte sur le contrôle optimal de quelques problèmes aux limites décrivant le contact entre un corps déformable et une fondation. La thèse est composée de trois parties. La première partie contient des préliminaires d’analyse. La deuxième partie représente un résumé des résultats obtenus dans l’étude de quatre problèmes aux limites. Le premier problème décrit un processus de contact statique sans frottement entre un corps élastique et une fondation rigide-plastique avec contrainte unilatérale. Dans le second problème on ajoute une deuxième surface de contact avec frottement de Coulomb et compliance normale. Le troisi`eme probl`eme est un probl`eme dual. Le contact est sans frottement, mod´elis´e par une version de la condition de Signorini. Le dernier probl`eme consid´er´e est ´evolutif, conduisant a` l’´etude d’une in´equation quasivariationnelle avec opérateur de mémoire. Pour chaque problème on fournit des résultats d’existence, d’unicité et de convergence de la solution faible. Enfin, on traite quelques problèmes de contrôle optimal associés aux modèles de contact ci-dessus. La dernière partie de la thèse est constituée de quatre articles. On y revient sur les problèmes de contact sus-mentionnés tout en présentant les d´détails des d´démonstrations.

The topic of this thesis concerns the optimal control of some boundary value problems describing the contact between a deformable body and a foundation. The thesis is divided into three parts. The first part contains preliminaries on functional analysis. The second part summarize our results in the study of four boundary value problems. The first one describes the process of static frictionless contact between an elastic body and a rigid-plastic foundation with unilateral constraint. In the second one we consider a second contact surface with Coulomb friction law and normal compliance. The third problem is a dual problem. The contact is frictionless and is modelled by a version of the Signorini condition. The last problem we consider is evolutionary, leading to the study of an history-dependent quasivariational inequality. For each problem we provide existence, uniqueness and convergence results for the weak solu- tion. Finally, we deal with some optimal control problems associated to our contact models above. The last part of the thesis contains four papers. Here we turn back on the above mentionned contact problems and present the details in proof.