Modélisation et inférence statistique de la maintenance imparfaite pour un système se dégradant suivant un processus gamma

On the modelling and statistical analysis of a gamma deteriorating system with imperfect maintenance

• Auteur / Autrice : Gabriel Salles
• Direction : Laurent Bordes, Sophie Mercier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 01/10/2020
• Etablissement(s) : Pau
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale sciences exactes et leurs applications (Pau, Pyrénées Atlantiques ; 1995-)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques et de leurs applications (Pau) - Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applications [Pau]

Mots clés

Mots clés contrôlés

Statistique mathématique

Mots clés libres

Statistiques

Processus gamma

Méthodes d’estimation

Processus de dégradation

Maintenance imparfaite

Statistics

Gamma process

Estimation methods

Degradation process

Imperfect maintenance action

Résumé

On considère un système se dégradant au cours du temps suivant un processusgamma non homogène dont les paramètres sont inconnus. Ce système est sujet à des maintenancespériodiques, instantanées et imparfaites. Trois différents modèles de maintenance imparfaite sontétudiés. Concernant le premier modèle, chaque maintenance a pour effet de réduire d’uneproportionρla dégradation accumulée par le système depuis la dernière action de maintenance (oùρ∈[0,1[ ). Pour le second modèle, comme pour le précédent, chaque maintenance réduit ladégradation accumulée par le système, mais ici depuis sa mise en marche. Enfin, le dernier modèleest un modèle basé sur l’âge virtuel du système. Dans ce cadre, une maintenance a pour effet deréduire l’âge du système accumulé depuis la dernière maintenance de ρ%. En d’autres termes, lesystème est remis dans l’état exact où il se trouvait plusieurs instants avant, il est donc rajeuni. Cettethèse est dédiée au développement de procédures d’estimation pour les paramètres de chacun destrois modèles. Ces paramètres sont ceux du processus gamma sous-jacent,ainsi que le paramètreρ,qui apparaît comme une mesure de l’efficacité des actions de maintenance.Dans un premier temps,les deux modèles basés sur la réduction de la dégradation sont étudiés. Les méthodes classiques desmoments et du maximum de vraisemblance sont traitées, puis les performances de ces méthodessont explorées sur des données simulées. Ensuite, une méthode d’estimation deρestdéveloppéedans un cadre semi paramétrique, où l’estimateur proposé ne dépend que des observations et pasdes paramètres du processus gamma. Les propriétés asymptotiques de cet estimateur sontétudiées,et ses performances illustrées. Dans un second temps, le modèle de réduction d’âge estétudié et, comme pour les modèles précédents, les deux méthodes classiques évoquéesprécédemment sont développées. Par la suite, quatre autres méthodes alternatives du maximum devraisemblance sont également développées.Pour finir, l’ensemble de ces méthodes d’estimation sonttestées sur des jeux de données simulés, et leurs performances sont illustrées.

A system is considered, which is deteriorating over time according to a nonhomogeneous gamma process with unknown parameters. The system is subject to periodic andinstantaneous imperfect maintenance actions. Three imperfect repair models are studied. Regardingthe first one, a maintenance action removes a proportionρof the degradation accumulated by thesystem since the last maintenance action (with ρ∈[0,1) ). Similarly, for the second model, amaintenance action reduces the degradation accumulated by the system, but from the initial time t=0. Finally, the last model is based on the virtual age of the system. Within this framework, amaintenance action removes ρ% of the age accumulated by the system from the last maintenanceaction. In other words, the system is put back in the exact situation it was some times before, henceit is rejuvenated. This thesis focuses on the development of estimation procedures for theparameters of the three models. These parameters are the parameters of the underlying gammaprocess, as well as the parameterρ, which appears as a measure for the maintenance actionsefficiency. As a first step, the two models based on the reduction of the degradation are considered.The method of moments and the maximum likelihood estimation are studied, and theirperformances are illustrated based on simulated data. Then, an estimation method forρisdeveloped in a semiparametric framework, where the proposed estimator only depends on theobservations, and not on the parameters of the gamma process. The asymptotic properties of thisestimator are studied, and its performances are illustrated. After that, the age reduction model isstudied, and the two classical methods mentioned above are developed. Thereafter, four alternativemethods based on the maximum likelihood are developed.Finally, all these methods are tested onsimulated data, and their performances are illustrated.Mots