Systèmes dynamiques non statistiques

Dynamics without physical measures

• Auteur / Autrice : Aminosadat Talebi
• Direction : Pierre Berger
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 15/10/2020
• Etablissement(s) : Paris 13
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Galilée (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Analyse, géométrie et applications (LAGA) (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Jury : Président / Présidente : François Béguin
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Meysam Nassiri, Mohammadreza Razvan, Zhiyuan Zhang
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Christian Bonatti, Û. s. Ilʹâšenko

Mots clés

Mots clés contrôlés

Difféomorphismes

Théorie ergodique

Stabilité

Systèmes dynamiques

Mots clés libres

Dynamiques non statistiques

Instabilitque statistique

Applications rationnelles

Difféomorphismes Anosov-Katok

Non-Statistical dynamics

Statistical instability

Rational maps

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions les propriétés statistiques des systèmes dynamiques. Plus précisément, nous étudions si le comportement statistique asymptotique des orbites typiques via la convergence de la suite des mesures empiriques. Nous étudions également la stabilité du comportement asymptotique sous l’effet de perturbations de la dynamique au sein d’une famille. Ce mémoire comporte deux parties. Dans la première partie, nous relions ces deux études. La seconde partie est consacrée à la preuve de l’existence de dynamiques non statistiques dans l’espace des applications rationnelles de la sphère de Riemann. Une application est dite non statistique par rapport `a la mesure de référence, s’il existe un ensemble de mesure positive de points qui ont leur suite de mesures empiriques divergente. Dans la première partie, nous avons développé un cadre abstrait qui vise `a comprendre ce qui se cache derrière l’existence d’applications non statistiques dans une famille de dynamiques donnée. Dans cette partie de la thèse, nous étendons et formalisons le concept d’instabilité statistique dans un sens général, indépendant du comportement statistique de la dynamique, et nous montrons comment l’abondance d’applications statistiquement instables, dans une famille donnée de dynamiques, implique l’existence d’applications non statistiques dans cette famille. Nous proposons une autre application de cette formalisation, ainsi qu’un autre exemple de cartes non statistiques: les difféomorphismes Anosov-Katok non statistiques de l’anneau.

In this thesis, we study the statistical properties of dynamical systems. More precisely, we study the asymptotic statistical behavior of typical orbits via the convergence of the sequence of empirical measures. We also study the stability of asymptotic behavior under the effect of small perturbations of the dynamics within a family of maps.This note has two parts. In the first part, we link the two subjects mentioned above. The second part is devoted to the proof of the existence of non-statistical dynamics in the space of rational maps of the Riemann sphere. A map is said to be non-statistical with respect to the reference measure, if there is a set of positive measures of points which have a divergent sequence of empirical measures.In the first part, we have developed an abstract setting which aims to under-stand what lies behind the existence of non-statistical maps in a given family of dynamics. In this part, we extend and formalize the concept of statistical instability in a general sense, independent of the statistical behavior of the dynamics, and we show how the abundance of statistically unstable maps, in a given family of dynam-ics, implies the existence of non-statistical maps in this family. We provide another application of this formalization, and also another example of non-statistical maps: non-statistical Anosov-Katok diffeomorphisms of the annulus.Keywords: Non-statistical dynamics, statistical instability, rational maps, Anosov-Katok diffeomorphisms