Model mathématique pour les échanges ioniques dans les tubules rénaux : le rôle de l'épithélium

Mathematical model for ionic exchanges in renal tubules : the role of epithelium

• Auteur / Autrice : Marta Marulli
• Direction : Nicolas Vauchelet, Bruno Franchi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathematiques
• Date : Soutenance le 27/03/2020
• Etablissement(s) : Paris 13 en cotutelle avec Università degli studi (Bologne, Italie). Dipartimento di matematica
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Galilée (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Analyse, géométrie et applications (LAGA) (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Jury : Président / Présidente : Silvia Lorenzani
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Bruno Franchi, Vuk Milišić, Magali Tournus
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Sébastien Martin, Andrea Tosin

Mots clés

Mots clés contrôlés

Biomathématiques

Transport biologique

Échange d'ions

Modèles mathématiques

Épithélium

Mots clés libres

Contre-Courant

Équation de transport

Échanges ioniques

Counter-Current

Transport equation

Ionic exchanges

Résumé

Cette thèse est consacrée à plusieurs études reliant un modèle mathématique pour une composante particulière du rein, l’anse de Henle. L’accent est mis sur les échanges ioniques qui ont lieu dans les tubules du néphron, unité fonctionnelle de cet organe. Le modèle prend explicitement en compte la couche épithéliale à l’interface entre la composante tubulaire et le milieu environnant (interstice) où les tubules se plongent. Le but principal de cette thèse est de comprendre si l’épithélium (membrane cellulaire) a un impact sur le modèle mathématique, comment son rôle l’influence et s’il offre plus d’informations sur le gradient de concentration, un facteur déterminant pour la capacité de concentration de l’urine. Dans une première partie du manuscrit, nous décrivons un modèle simplifié pour les échanges de sodium dans l’anse de Henle, et nous montrons que c’est un problème bien posé en montrant l’existence, l’unicité et la positivité de la solution. Il s’agit d’un système hyperbolique 5×5 avec des vitesses constantes, un terme ’source’ et des conditions spécifiques au bord. Ensuite nous présentons un passage rigoureuse à la limite pour ce système 5×5 vers un système d’équations 3×3, représentant le modèle sans couche épithéliale, pour clarifier le lien entre les deux modèles. Dans la deuxième partie, grâce à une analyse du comportement asymptotique, nous montrons que notre modèle dynamique converge vers le système stationnaire avec un taux de convergence exponentiel en temps grand. Afin de démontrer rigoureusement ce résultat global de stabilité asymptotique, nous étudions les éléments propres d’un système auxiliaire avec un opérateur linéaire et son duale associé. Nous présentons également des simulations numériques sur la solution liée au système stationnaire pour comprendre le comportement des concentrations d’ions même au niveau physiologique.

This thesis deals with a mathematical model for a particular component of the kidney, the loop of Henle. We focus our attention on the ionic exchanges that take place in the tubules of the nephron, the functional unit of this organ. The model explicitly takes into account the epithelial layer at the interface between the tubular lumen and the surrounding environment (interstitium) where the tubules are immersed. The main purpose of this work is to understand the impact of the epithelium (cell membrane) on the mathematical model, how its role influences it and whether it provides more information on the concentration gradient, an essential determinant of the urinary concentrating capacity. In the first part of this transcript, we describe a simplified model for sodium exchanges in the loop of Henle, and we show the well-posedness of problem proving the existence, uniqueness and positivity of the solution. This model is an hyperbolic system 5×5 with constant speeds, a ’source’ term and specific boundary conditions. We present a rigorous passage to the limit for this system 5×5 to a system of equations 3×3, representing the model without epithelial layers, in order to clarify the link between them. In the second part, thanks to the analysis of asymptotic behaviour, we show that our dynamic model converges towards the stationary system with an exponential rate for large time. In order to prove rigorously this global asymptotic stability result, we study eigen-elements of an auxiliary linear operator and its dual. We also perform numerical simulations on the stationary system solution to understand the physiological behaviour of ions concentrations.