Thèse soutenue

Dynamique en temps long et en temps fini de l'équation de schrödinger non-linéaire en dehors d'un obstacle

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Auteur / Autrice : Oussama Landoulsi
Direction : Thomas Duyckaerts
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 09/10/2020
Etablissement(s) : Paris 13
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Érasme (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Analyse, géométrie et applications (LAGA) (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
Jury : Président / Présidente : Valeria Banica
Examinateurs / Examinatrices : Fabrice Planchon, Hatem Zaag, Svetlana Roudenko
Rapporteur / Rapporteuse : Nikolay Tzvetkov, Stefan Le Coz

Résumé

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Cette thèse est consacrée à l’étude de la dynamique de l’équation de Schrödinger non-linéaire(NLS) focalisante en dehors d’un obstacle compact et convexe, avec des conditions de Dirichletau bord de l’obstacle. Nous nous intéressons à l’étude du comportement asymptotique des solutionsen temps long et en temps fini. Dans cette thèse, nous prouvons l’existence de ces troistypes de solutions: ondes solitaires (solitons), solutions ''explosives '' (formant des singularitésen temps fini) et des solutions dispersives (des solutions globales et se comportant asymptotiquementcomme des solutions linéaires) pour l’équation NLS en dehors d’un obstacle convexe.Dans la première partie de la thèse, nous construisons des ondes solitaires, se rapprochant, entemps long, des ondes solitaires existant pour l’équation NLS posée sur l’espace euclidien sansobstacle. Ainsi, ces ondes montre l’optimalité d’un seuil d’énergie en dessous duquel toutes lessolutions de l’équation sont globales et ont un comportement asymptotique linéaire.Dans la deuxième partie de la thèse, nous prouvons l’existence des solutions explosives pourl’équation NLS à l’extérieur d’une boule. Nous prouvons que les solutions d’énergie négativeet de variance finie forment une singularité en temps fini (ceci été conjecturé mais non démontré).Dans certains cas, nous étudions également le comportement des solutions sous le seuilmasse-énergie mentionné ci-dessus.Dans la troisième partie de la thèse, nous étudions la dynamique de l’équation NLS en dehorsd’un obstacle convexe exactement au seuil masse-énergie, c’est à dire lorsque la masse etl’énergie de la donnée initiale sont égales à la masse et à l’énergie du soliton. Nous montronsque la solution est globale en temps et se disperse en temps long.Dans la dernière partie de la thèse, nous présentons des simulations numériques pour l’équationNLS en dehors d’un obstacle compact et convexe. Nous étudions l’interaction entre les solutionsde type ondes solitaires (solitons) se déplaçant à différentes vitesses vers l’obstacle sous différentsangles. Ainsi, nous montrons que la présence de l’obstacle modifie globalement le comportementdes solutions