Caractérisation structurelle de quelques problèmes dans les graphes de cordes et d’intervalles

Structural characterization of some problems on circle and interval graphs

• Auteur / Autrice : Nina Pardal
• Direction : Mario Valencia-Pabon
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 30/03/2020
• Etablissement(s) : Paris 13 en cotutelle avec Universidad de Buenos Aires
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Galilée (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales (Buenos Aires) - Laboratoire informatique de Paris-Nord (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis ; 2001-....)
• Jury : Président / Présidente : Frédérique Bassino
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Christophe Picouleau, Daniel Perrucci, Min Chih LIN
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Valeria Alejandra Leoni, Christophe Picouleau

Mots clés

Mots clés contrôlés

Algorithmes

Théorie des graphes

Mots clés libres

Graphes

Cordes

Intervalles

Graphs

Circle

Forbidden subgraphs

Résumé

Étant donnée une famille d’ensembles non vides S = {Si}, le graphe d’intersection de la famille S est celui pour lequel chaque sommet représente un ensemble Si de tel façon que deux sommets sont adjacents si et seulement si leurs ensembles correspondants ont une intersection non vide. Un graphe est dit graphe de cordes s’il existe une famille de cordes L = {Cv}v∈G dans un cercle tel que deux sommets sont adjacents si les cordes correspondantes se croisent. Autrement dit c’est le graphe d’intersection de la famille de cordes L. Ils existent différentes caractérisations des graphes de cordes qui utilisent certaines opérations dont notamment la complémentation locale ou encore la décomposition split. Cependant on ne connaît pas encore aucune caractérisation structurelle des graphes de cordes par sous-graphes induits interdits minimales. Dans cette thèse nous donnons une caractérisation des graphes de cordes par sous-graphes induits interdits dans le cas où le graphe original est un graphe split. Une matrice binaire possède la propriété des unités consécutives en lignes (C1P) s’il existe une permutation de ses colonnes de sorte que les 1’s dans chaque ligne apparaissent consécutivement. Dans cette thèse nous développons des caractérisations par sous-matrices interdites de matrices binaires avec C1P pour lesquelles les lignes sont 2-coloriablessousunecertaineconditiond’adjacenceetnouscaractérisonsstructurellement quelques sous-classes auxiliaires de graphes de cordes qui découlent de ces matrices. Étant donnée une classe de graphes Π, une Π-complétion d’un graphe G = (V,E) est un graphe H = (V,E∪F) tel que H appartient à Π. Une Π-complétion H de G est minimale si H0 = (V,E∪F0) n’appartient pas à Π pour tout F0 sous-ensemble propre de F. Une Π-complétion H de G est minimum si pour toute Π-complétion H0 = (V,E∪F0) de G la cardinalité de F est plus petite ou égale à la cardinalité de F0. Dans cette thèse nous étudions le problème de complétion minimale d’un graphe d’intervalles propre quand le graphe d’entrée est un graphe d’intervalles quelconque.Noustrouvonsdesconditionsnécessairesquicaractérisentunecomplétionminimale dans ce cas particulier, puis nous laissons quelques conjectures à considérer dans un futur.

Given a family of nonempty sets S = {Si}, the intersection graph of the family S is the graph with one vertex for each set Si, such that two vertices are adjacent if and only if the corresponding sets have nonempty intersection. A graph is circle if there is a family of chords in a circle L = {Cv}v∈G such that two vertices are adjacent if the corresponding chords cross each other. In other words, it is the intersection graph of the chord family L. There are diverse characterizations of circle graphs, many of them using the notions of local complementation or split decomposition. However, there are no known structural characterization by minimal induced forbidden subgraphs for circle graphs. In this thesis, we give a characterization by induced forbidden subgraphs of those split graphs that are also circle graphs. A (0,1)-matrix has the consecutive-ones property (C1P) for the rows if there is a permutation of its columns such that the 1’s in each row appear consecutively. In this thesis, we develop characterizations by forbidden subconfigurations of (0,1)-matrices with the C1P for which the rows are 2-colorable under a certain adjacency relationship, and we characterize structurally some auxiliary circle graph subclasses that arise from these special matrices. Given a graph class Π, a Π-completion of a graph G = (V,E) is a graph H = (V,E∪F) suchthat H belongs to Π. A Π-completion H of G is minimal if H0 = (V,E∪F0) does not belong to Π for every proper subset F0 of F. A Π-completion H of G is minimum if for every Π-completion H0 = (V,E∪F0) of G, the cardinal of F is less than or equal to the cardinal of F0. In this thesis, we study the problem of completing minimally to obtain a proper interval graph when the input is an interval graph. We find necessary conditions that characterize a minimal completion in this particular case, and we leave some conjectures for the future.