Aspects ergodiques et algébriques des automates cellulaires.

Ergodic and algebraic aspects of cellular automata

• Auteur / Autrice : Paul Lanthier
• Direction : Thierry De la Rue
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathematiques
• Date : Soutenance le 07/12/2020
• Etablissement(s) : Normandie
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, information et ingénierie des systèmes (Caen)
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de préparation de la thèse : Université de Rouen Normandie (1966-....)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Centre Iannis Xenakis (Mont-Saint-Aignan, Seine-Maritime)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques Raphaël Salem (Saint-Etienne-du-Rouvray, Seine-Maritime ; 2000-...)
• Jury : Président / Présidente : Pierre Calka
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Élise Janvresse, Irène Marcovici
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Christophe Leuridan, Alejandro Maass

Mots clés

Mots clés contrôlés

Musique et mathématiques

Information, Théorie de l'

Théorie ergodique

Markov, Processus de

Automates cellulaires

Mots clés libres

Automates cellulaires

Processus de Markov

Facteurs de systèmes dynamiques mesurés

Classification des filtrations

Suites périodiques

Mathématiques et musique

Systèmes dynamiques et musique

Cellular automata

Classification of filtrations

Markov processes

Periodic sequences

Mathemathics and music

Dynamical systems and music

Factors of measure-theoric dynamical systems

Résumé

La première partie de ce manuscrit entre dans le cadre de la théorie des probabilités, et est consacrée à l’étude de filtrations engendrées par des automates cellulaires. On étudie deux versions d’un automate algébrique agissant sur des configurations dont les états sont à valeurs dans un groupe abélien fini : l’une est déterministe, et consiste à additionner les états de deux cellules consécutives, et la seconde est une perturbation aléatoire de la première. À partir de ces automates, on construit des processus aléatoires markoviens et on étudie les filtrations engendrées par ces processus. On montre en utilisant le critère de I-confort que les deux filtrations sont standards au sens développé par Vershik. Cependant, les automates cellulaires ont comme particularité de commuter avec l’opérateur de décalages des coordonnées, appelé « shift ». Dans cette thèse, on introduit une nouvelle classification des filtrations dite « dynamique » qui tient compte de l’action de cette transformation. Les filtrations sont définies non plus sur des espaces de probabilité mais sur des systèmes dynamiques, ce sont dans ce cas des filtrations « facteurs » : chaque tribu est invariante par la dynamique du système. Le pendant de la standardité du point de vue dynamique est étudié. On crée ainsi un critère nécessaire pour la standardité dynamique appelé « I-confort dynamique ». La question de savoir si le I-confort dynamique est suffisant reste ouverte mais un premier résultat dans cette direction est donné, en montrant qu’une version renforcée du I-confort dynamique entraîne la standardité dynamique. En établissant qu’elle ne satisfait pas le critère de I-confort dynamique, on prouve que la filtration facteur engendrée par l’automate déterministe n’est pas dynamiquement standard, et donc que la classification dynamique des filtrations diffère de la classification développée par Vershik. L’automate probabiliste dépend d’un paramètre d’erreur, et on montre par un argument de percolation que la filtration facteur engendrée par cet automate est dynamiquement standard pour des valeurs assez grandes de ce paramètre. 0n conjecture qu’elle ne sera pas dynamiquement standard pour les valeurs très petites de ce paramètre. La deuxième partie de ce manuscrit, plus algébrique, tire son origine d’une problématique musicale, liée au calcul d’intervalles dans une ligne mélodique périodique. Les travaux présentés ici poursuivent les recherches du compositeur roumain Anatol Vieru et de Moreno Andreatta et Dan Vuza mais d’une manière originale en se plaçant du point des vue des automates cellulaires. On étudie l’action sur des suites périodiques de deux automates cellulaires algébriques, dont l’un est identique à celui de la première partie. Les questions sur la caractérisation des suites réductibles et reproductibles ainsi que les temps associés ont été approfondies et améliorées pour ces deux automates. Le calcul des antécédents et des images via les deux automates a été explicité. La question de l’évolution des périodes a été traitée avec la création d’un outil appelé « caractéristique » qui permet de décrire et de contrôler l’évolution de la période dans les temps négatifs. Des simulations permettent de voir que l’évolution des périodes lorsque l’on tire au hasard des antécédents suit un motif presque régulier, et l’explication de ce phénomène reste une question ouverte. Les résultats mathématiques de cette deuxième partie ont été utilisés dans le module « automaton » d’un logiciel de composition gratuit, nommé « UPISketch. Ce module permet à un compositeur de créer des lignes mélodiques en itérant les images ou en prenant des antécédents successifs d’une ligne mélodique de départ.

The first part of this manuscript falls within the framework of probability theory, and is devoted to the study of filtrations generated by some cellular automata. We study two versions of an algebraic automaton acting on configurations whose states take values in a finite Abelian group: one is deterministic, and consists in adding the states of two consecutive cells, and the second is a random perturbation of the first one. From these automata, random Markovian processes are constructed and the filtrations generated by these processes are studied. Using the I-cosiness criterion, we show that the two filtrations are standard in the sense developed by Vershik. However, cellular automata have the particularity of commuting with the coordinate shift operator. In this thesis, we introduce a new classification of the filtrations called ''dynamic'' which takes into account the action of this transformation. Filtrations are no longer defined on probability spaces but on dynamical systems, and are in this case ''factor'' filtrations: each sigma-algebra is invariant by the dynamics of the system. The counterpart of standardity from the dynamic point of view is studied. This creates a necessary criterion for dynamic standardity called ''dynamic I-cosiness''. The question of whether the dynamic I-cosiness is sufficient remains open, but a first result in this direction is given, showing that a strengthened version of the dynamic I-cosiness leads to dynamic standardity. By establishing that it does not satisfy the criterion of dynamic I-cosiness, it is proved that the factor filtration generated by the deterministic automaton is not dynamically standard, and therefore that the dynamic classification of the filtrations differs from the classification developed by Vershik. The probabilistic automaton depends on an error parameter, and it is shown by a percolation argument that the factor filtration generated by this automaton is dynamically standard for large enough values of this parameter. It is conjectured that it will not be dynamically standard for very small values of this parameter. The second part of this manuscript, more algebraic, has its origin in a musical problem, linked to the calculation of intervals in a periodic melodic line. The work presented here continues the research of the Romanian composer Anatol Vieru and of Moreno Andreatta and Dan Vuza, but in an original way from the point of view of cellular automata. We study the action on periodic sequences of two algebraic cellular automata, one of which is identical to that of the first part. The questions on the characterization of reducible and reproducible sequences as well as the associated times have been deepened and improved for these two automata. The calculation of preimages and images via the two automata was explained. The question of the evolution of the periods was treated with the creation of a tool called ''characteristic'' which allows to describe and control the evolution of the period in negative times. Simulations show that the evolution of the periods when the preimages are drawn at random follows an almost regular pattern, and the explanation of this phenomenon remains an open question. The mathematical results of this second part have been used in the ''Automaton'' module of a free composing software called ''UPISketch ». This module allows a composer to create melodic lines by iterating images or taking successive preimages of a starting melodic line.