Thèse soutenue

Permutons limites universels de permutations aléatoires à motifs exclus

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Auteur / Autrice : Mickaël Maazoun
Direction : Grégory Miermont
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 23/11/2020
Etablissement(s) : Lyon
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon (2009-....)
Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : École normale supérieure de Lyon (2010-...)
Laboratoire : Unité de Mathématiques Pures et Appliquées (Lyon ; 1991-....)
Jury : Président / Présidente : Thomas Duquesne
Examinateurs / Examinatrices : Grégory Miermont, Thomas Duquesne, Eric Fusy, Mireille Bousquet-Mélou, Alice Guionnet, Igor Kortchemski, Bruno Salvy
Rapporteurs / Rapporteuses : Eric Fusy, Svante Janson

Résumé

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Les permutations à motifs exclus sont un thème important de la combinatoire énumérative et leur étude probabiliste un sujet récent en pleine expansion, notamment l'étude de la limite d'échelle, au sens des permutons, du diagramme d'une permutation aléatoire uniforme dont la taille tent vers l'infini dans une classe définie par exclusion de motifs. Le cas des permutations séparables a été étudié par Bassino, Bouvel, Féray, Gerin et Pierrot, qui ont démontré la convergence vers un objet aléatoire, permuton séparable Brownien. Nous fournissons une construction explicite à partir de processus stochastiques permettant d'étudier les propriétés fractales et de calculer certaines statistiques de cet objet. Nous étudions la classe d'universalité de ce permuton dans le cadre des classes admettant une spécification finie au sens de la décomposition par substitution. Pour nombre d'entre elles, sous une condition combinatoire simple, leur limite est une déformation à un paramètre du permuton séparable Brownien. Dans le cas des classes closes par substitution, nous considérons également des conditions suffisantes pour sortir de cette classe d'universalité, et introduisons la famille des permutons stables. Les cographes sont les graphes d'inversion des permutations séparables. Nous étudions par des méthodes similaires la convergence au sens des graphons du cographe étiqueté ou non-étiqueté uniforme, et montrons que le degré normalisé d'un sommet uniforme dans un cographe uniforme est asymptotiquement uniforme. Finalement, nous étudions les limites d'échelle et locale de la famille à motifs vinculaires exclus des permutations de Baxter. Cette classest en bijection avec de nombreux objets combinatoires remarquables, notamment les cartes bipolaires orientées. Notre résultat s'interprète en terme de la convergence de telles cartes au sens de la Peanosphere, complétant un résultat de Gwynne, Holden et Sun.