Thèse soutenue

Réécriture modulo dans les catégories diagrammatiques

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Auteur / Autrice : Benjamin Dupont
Direction : Philippe MalbosStéphane GaussentAlistair Savage
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 20/11/2020
Etablissement(s) : Lyon
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon (2009-....)
Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Claude Bernard (Lyon ; 1971-....)
Laboratoire : Institut Camille Jordan (Rhône ; 2005-....)
Jury : Président / Présidente : Nicolas Ressayre
Examinateurs / Examinatrices : Philippe Malbos, Stéphane Gaussent, Alistair Savage, Anthony M. Licata, Benjamin Elias, Vladimir Dotsenko, Femke Van Raamsdonk
Rapporteurs / Rapporteuses : Anthony M. Licata, Benjamin Elias

Résumé

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En théorie des représentations, de nombreuses familles de catégories sont définies par générateurs et relations diagrammatiques. Une des questions principales dans l’étude de ces catégories est le calcul de bases linéaires des espaces de morphismes. Ces calculs de bases sont en général très difficiles en raison de la complexité combinatoire des relations. Cette thèse introduit une approche constructive permettant de calculer ces bases avec des méthodes issues de la théorie de la réécriture. Nous introduisons un cadre catégorique de réécriture modulo, qui décrit le calcul dans une structure algébrique par application de relations orientées modulo les axiomes de la structure. Ce cadre nous permet de développer des outils pour réécrire dans des algèbres et catégories diagrammatiques admettant une structure inhérente complexe, telles que la structure de catégorie pivotale dans laquelle les diagrammes sont représentés à isotopie planaire près. Nous définissons la notion de système de réécriture de dimension supérieure modulo, appelés polygraphes modulo, dans un contexte ensembliste et linéaire. Ces structures polygraphiques fournissent un cadre pour les preuves de cohérence modulo ainsi que le calcul de bases linéaires. En particulier, nous démontrons que des bases linéaires pour les espaces de 2-cellules de 2-catégories pivotales peuvent être obtenues à partir de présentations dont les relations forment un système de réécriture terminant, ou quasi-terminant, et confluent modulo les relations d’isotopie planaire. Nous étudions via ces méthodes la catégorie définie par Khovanov, Lauda et Rouquier pour catégorifier le groupe quantique associé à une algèbre de Kac-Moody symétrisable simplement lacée. Nous calculons des bases explicites des espaces de 2-cellules de cette catégorie, et montrons ainsi la non-dégénérescence du calcul diagrammatique introduit par Khovanov et Lauda, prouvant dans ce cas le théorème de catégorification du groupe quantique associé. Enfin, nous étendons la structure de polygraphe modulo au contexte de la réécriture modulo les axiomes décrits par une théorie algébrique de Lawvere. Nous démontrons un lemme des paires critiques algébrique basé sur une notion de stratégie de réécriture adaptée au contexte algébrique.