Modèles de croissance de surfaces aléatoires : limites hydrodynamiques et fluctuations

Random surface growth models : hydrodynamic limits and fluctuations

• Auteur / Autrice : Vincent Lerouvillois
• Direction : Fabio Lucio Toninelli
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 24/11/2020
• Etablissement(s) : Lyon
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale InfoMaths (Lyon ; 2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Claude Bernard (Lyon ; 1971-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Camille Jordan (Rhône ; 2005-....)
• Jury : Président / Présidente : Christophe Sabot
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Fabio Lucio Toninelli, Christophe Bahadoran, Patrik Ferrari, Oriane Blondel, Ellen Saada
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Christophe Bahadoran, Patrik Ferrari

Mots clés

Mots clés contrôlés

Hamilton-Jacobi, Équations de

Isotropie

Markov, Processus de

Limites

Hydrodynamique

Mots clés libres

Évolution d'interfaces aléatoires

Chaînes de Markov

Limites hydrodynamiques

Équation de Hamilton-Jacobi

Fluctuations

Conjecture de Wolf

KPZ Anisotrope

Random growth models

Markov chains

Hydrodynamic limits

Hamilton-Jacobi equations

Fluctuations

Wolf's conjecture

Anisotropic KPZ

Résumé

Ce travail porte sur certains modèles de croissance d'interfaces aléatoires dont l'évolution microscopique est typiquement représentée par une chaîne de Markov. Un des but principaux est de démontrer la limite hydrodynamique i.e la convergence de l'interface rééchelonnée vers une interface macroscopique déterministe dont le mouvement est régi par une équation de Hamilton-Jacobi. Ensuite, on s'intéresse aux fluctuations i.e l'écart entre l'interface aléatoire et sa limite hydrodynamique. Il est conjecturé que ces fluctuations se comportent, à grande échelle, comme la solution de l'équation de Kardar-Parisi-Zhang et ce, indépendemment des spécificités microscopiques du modèle choisi : on parle de classe d'universalité KPZ. Dans le cas d'interfaces bi-dimensionnelles, la conjecture de Wolf prévoit, en fonction des symétries du modèle, deux classes d'universalités différentes : Isotrope ou Anisotrope. Dans cette thèse, nous nous concentrons sur deux modèles de surfaces stochastiques dans la classe d'universalité KPZ Anisotrope introduits par Gates-Wetcott et Borodin-Ferrari. Notre résultat principal est la démonstration de la limite hydrodynamique pour chacun de ces deux modèles. Nous montrons également une borne supérieure sur les fluctuations du modèle de Gates-Westcott, en accord avec la conjecture de Wolf. Enfin, nous explorons les liens entre ces deux modèles et en proposons une généralisation

This work is about some random interface growth models whose microscopic evolution is typically represented by a Markov chain. One of the main purposes is to show the hydrodynamic limit i.e the convergence of the rescaled interface to a deterministic macroscopic interface whose evolution is ruled by a Hamilton-Jacobi equation. Then, we are interested in fluctuations i.e the difference between the random interface and its hydrodynamic limit. It is conjectured that the large-scale fluctuations behave like the solution of the Kardar-Parisi-Zhang equation independently of the microscopic details of the model considered: we speak of KPZ universality class. As far as two-dimensional interfaces are concerned, Wolf's conjecture predicts two different universality classes depending on the symmetries of the model: Isotropic or Anisotropic. In this thesis, we focus on two random surface models in the Anisotrpic KPZ universality class introduced respectively by Gates-Westcott and Borodin-Ferrari. Our main result is the proof of the hydrodynamic limit for both models. Also, we show an upper bound on the fluctuations of the Gates-Westciott model that agrees with Wolf's conjecture. Finally, we explore the relations between these two models and generalise them