Domination de graphes et problèmes de reconfiguration

Graph domination and reconfiguration problems

• Auteur / Autrice : Alice Joffard
• Direction : Hamamache Kheddouci, Nicolas Bousquet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 25/11/2020
• Etablissement(s) : Lyon
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon (2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Claude Bernard (Lyon ; 1971-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : LIRIS - Laboratoire d'Informatique en Image et Systèmes d'information (Rhône ; 2003-....)
• Jury : Président / Présidente : Angela Bonifati
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Hamamache Kheddouci, Nicolas Bousquet, Olivier Togni, Mathieu Liedloff, Nadia Brauner, Naomi Nishimura, Kitty Meeks
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Olivier Togni, Mathieu Liedloff

Mots clés

Mots clés contrôlés

Graphes planaires

Algorithmes d'approximation

Reconfiguration (informatique)

Théorie des graphes

Mots clés libres

Théorie des graphes

Reconfiguration

Domination

Ensembles dominants

Séquence de degrés

Domination éternelle

Graph theory

Reconfiguration

Domination

Dominating sets

Degree sequence

Eternal domination

Résumé

Cette thèse a pour objet l'étude de la domination de graphes et des problèmes de reconfiguration. Un ensemble dominant d'un graphe est un sous-ensemble de sommets tel que tous les sommets du graphe sont ou bien dans l'ensemble, ou bien sont voisins d'au moins un sommet dans l'ensemble. Quant aux problèmes de reconfiguration, ils consistent, étant donné un problème source, à étudier si il est possible, et comment, de passer d'une solution de ce problème source à une autre en effectuant une séquence de changements élémentaires suivant une règle donnée qui maintiennent une solution. Le premier chapitre est une introduction générale et le deuxième un chapitre préliminaire. Le troisième chapitre est consacré aux problèmes de reconfiguration. Nous donnons les définitions essentielles, illustrées par divers problèmes : le jeu du taquin, la reconfiguration d'ensembles indépendants et d'ensembles dominants et de colorations de graphes, la reconfiguration du problème de satisfiabilité, ainsi que la reconfiguration de multigraphes ayant la même séquence de degrés. Le quatrième chapitre se focalise sur ce dernier problème. Nous donnons un algorithme d'approximation polynomial qui renvoit une séquence de reconfiguration entre deux multigraphes connexes ayant la même séquence de degrés, de longueur au plus 2.5 fois la longueur minimale. Le meilleur ratio obtenu jusqu'ici était de 4, et cette amélioration est due à la découverte d'une nouvelle borne supérieure. Nous gardons la même borne inférieure, et montrons que tant qu'une meilleure borne inférieure ne sera pas trouvée, le ratio d'approximation ne pourra pas être drastiquement meilleur. Le cinquième chapitre se recentre sur les problèmes de domination. Nous étudions la connexité et le diamètre du graphe de reconfiguration, lorsque l'opération élémentaire consiste en l'addition ou la suppression d'un sommet de l'ensemble dominant. En d'autres termes, nous cherchons des conditions suffisantes pour qu'il existe toujours une séquence de reconfiguration entre deux ensembles dominants, et donnons une borne supérieure sur la longueur de cette séquence. En particulier, nous nous intéressons à la taille maximale des ensembles dominants autorisés dans la séquence. Nous montrons qu'au delà d'une valeur dépendant du nombre d'indépendance du graphe, le graphe de reconfiguration a un diamètre linéaire. Nous donnons également une autre borne supérieure, qui dépend cette fois ci de la largeur arborescente du graphe, à partir de laquelle le graphe de reconfiguration est connexe et a un diamètre linéaire. Nous donnons également deux autres bornes supérieures pour les graphes planaires, ainsi que les graphes dont le graphe complet K_l n'est pas un mineur. Dans le sixième chapitre, l'opération élémentaire consiste en un glissement de jeton le long d'une arête. Nous étudions la complexité du problème d'atteignabilité, qui consiste à déterminer si il existe une séquence de reconfiguration entre deux ensembles dominants donnés. Nous montrons que le problème est PSPACE-complet pour les graphes planaires bipartis, pour les graphes de disques unité, les circle graphs, et les line graphs. Nous donnons également un algorithme polynomial pour les circular arc graphs. Le septième chapitre est consacré au problème de domination éternelle. Nous introduisons une version du problème sur les graphes dirigés. Nous donnons des bornes sur le nombre de domination éternel, dans deux versions du problèmes. Nous introduisons ensuite un problème qui consiste à chercher l'orientation d'un graphe qui minimise ces paramètres. Nous montrons que dans la première version, déterminer si le paramètre correspondant est au plus un k donné est un problème CO-NP-difficile. Nous étudions la valeur des deux paramètres sur différentes classes de graphes comme les cycles, les arbres, les graphes complets et complets bipartis, et différents types de grilles. Nous caractérisons enfin les graphes dont la valeur du deuxième paramètre est 2

This object of this thesis is to study graph domination and reconfiguration problems. A dominating set of a graph is a subset of vertices such that every vertex of the graph either is in the set, or is a neighbor of at least one vertex in the set. As for reconfiguration problems, they consist in, given a source problem, determining if it is possible, and how, to go from a solution of this source problem to another by performing a sequence of elementary changes following a given rule and that maintain a solution all along. The first chapter is a general introduction, and the second chapter is a preliminary chapter. The third chapter is devoted to reconfiguration problems. We give the definitions that are essential to understand the reconfiguration problems exposed in the following chapters. These definitions are illustrated with several problems: the 15-puzzle game and its generalizations, the reconfiguration of independent sets and dominating sets in a graph, the reconfiguration of graph colorings, the reconfiguration of the satisfiability problem, as well as the reconfiguration of connected multigraphs with the same degree sequence. The fourth chapter focuses on this last problem. We give a polynomial approximation algorithm that outputs a reconfiguration sequence between two connected multigraphs that have the same degree sequence, of length at most 2.5 times the minimum length. The elementary operation consists in exchanging an extremity between two disjoint edges. The best ratio known so far was 4, and this improvement is due to the discover of a new upper bound. However, we keep the same lower bound, and we show that as long as a better lower bound is not found, the approximation ratio can not be drastically better than 2.5. The fifth chapter goes back to domination problems. We study the connectivity and diameter of the reconfiguration graph, when the elementary operation consists in the addition or removal of a vertex of the set. In other words, we search for sufficient conditions that guarantee the existence of a reconfiguration sequence between two dominating sets, and give an upper bound on the length of this sequence. In particular, we are interested in the maximum size of the dominating sets authorized in the sequence. We show that above a certain value, that depends on the independence number of the graph, the reconfiguration graph has linear diameter. We also give another upper bound, that depends on the treewidth of the graph, above which the reconfiguration graph is connected and has linear diameter. We also give two other upper bounds for planar graphs and for K_l-minor-free graphs. In the sixth chapter, we change the elementary operation, that then consists in sliding a token along an edge (a vertex is removed from the set, and one of its neighbors is added). We study the complexity of the reachability problem, which consists in determining if there exists a reconfiguration sequence between two given dominating sets. We show that the problem is PSPACE-complete in planar bipartite graphs, unit disk graphs, circle graphs and line graphs. We also give a polynomial algorithm for circular arc graphs. The seventh chapter is devoted to the eternal domination problem. We introduce a version of the problem on directed graphs. We give some bounds on the value of the eternal domination number in two versions of the problem, that generalize results on undirected graphs. We then introduce a new problem that consists in searching for the orientation of a graph that minimizes the two parameters. We show that in the first version, determining if the parameter is at most a given k is a coNP-hard problem. We also study the value of both parameters in several graph classes such as cycles, trees, complete and complete bipartite graphs, and different types of grids. We finally characterize the graphs for which the value of the second parameter is 2