Sur les sous-groupes paraboliques associés à un groupe réductif

On the parabolic subgroups associated to a reductive group

• Auteur / Autrice : Marion Jeannin
• Direction : Philippe Gille
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 21/09/2020
• Etablissement(s) : Lyon
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale InfoMaths (Lyon ; 2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Camille Jordan (Rhône ; 2005-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Claude Bernard (Lyon ; 1971-....)
• Jury : Président / Présidente : Bertrand Rémy
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Philippe Gille, Anne-Marie Aubert, Julia Gordon, Michel Brion, Anne Moreau
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Anne-Marie Aubert

Mots clés

Mots clés contrôlés

Invariants

Isomorphismes (mathématiques)

Groupes algébriques

Algèbre

Mots clés libres

Groupes réductifs

Sous-groupes paraboliques

Algèbres de Lie

Caractéristique positive

Semi-stabilité

Reductive groups

Parabolic subgroups

Lie algebras

Positive characteristic

Semistability

Résumé

Les espaces de modules sont des objets mathématiques qui apparaissent souvent comme solutions de problèmes de classification. Ils permettent de paramétrer différentes entités, généralement géométriques (par exemple des courbes ou des fibrés vectoriels), à l'aide d'une relation d'équivalence donnée par l'action d'un groupe algébrique. C'est l'objet de la théorie géométrique des invariants, introduite par D. Mumford. La construction de quotients pour l'action d'un groupe G sur un schéma algébrique X permet l’obtention de tels espaces et se révèle donc être une question récurrente et naturelle en géométrie algébrique. Toutefois, même lorsque X est défini au-dessus d'un corps k (i.e. lorsque X est une k-variété algébrique), un quotient de X par G n'existe pas toujours dans la catégorie des variétés algébriques. La théorie géométrique des invariants fournit un ouvert de Zariski appelé ensemble des points semi-stables, tel qu'un bon quotient de cet ensemble pour l’action de G existe toujours. Cette thèse étudie les schémas en groupes réductifs en caractéristique positive. Lorsque G est un schéma en groupes réductif au-dessus d'une courbe X définie sur un corps k, différentes généralisations de la notion de (semi-)stabilité introduite dans le cadre de la théorie géométrique des invariants apparaissent naturellement, en fonction du contexte. Toutes impliquent d'associer à G un sous-groupe parabolique dit canonique. Si k est de caractéristique nulle, lorsque ces sous-groupes paraboliques coexistent (ce qui dépend d’hypothèses sur G), ils coïncident. En caractéristique positive la situation est plus complexe. Ma thèse fournit une borne sur la caractéristique pour laquelle les différentes théories définissent le même sous-groupe parabolique. Elle propose pour ce faire une caractérisation de cet objet grâce à la théorie de Hilbert-Mumford-Kempf-Rousseau. L’obtention de cette dernière a nécessité de développer des analogues, en caractéristique p>0, d’un théorème initialement dû à V. Morozov dans le cadre de la caractéristique nulle, et qui permet la caractérisation des sous-algèbres de Lie paraboliques de l’algèbre de Lie d’un k-groupe réductif à l’aide de l’ensemble des éléments (p)-nilpotents de leur radical. Des travaux de P. Deligne, puis V. Balaji, P. Deligne et A. J. Parameswaran ont récemment permis à ces derniers d’obtenir un premier analogue du théorème en caractéristique positive sous des hypothèses relativement fortes sur la caractéristique du corps et sur le k-groupe réductif G. Leur preuve repose sur l’existence d’une application exponentielle compatible à la représentation adjointe entre les sous-algèbres p-nil de Lie(G) et les sous-groupes unipotents de G. A. Premet et D. I. Stewart ont dernièrement également obtenu un analogue du théorème de Morozov sous des hypothèses bien plus faibles sur la caractéristique et le k-groupe G. Leur preuve est basée sur une étude de cas. Ma thèse propose d’adapter les techniques développées par V. Balaji, P. Deligne et A. J. Parameswaran à un contexte plus large, pour obtenir un analogue qui approche le niveau de généralité de A. Premet et D. I. Stewart. La démonstration des énoncés obtenus est uniforme et permet une caractérisation supplémentaire des objets considérés en termes de théorie géométrique des invariants. L’obtention de ces résultats a nécessité un travail préalable à plusieurs niveaux : une partie substantielle à la généralisation d'un résultat de P. Deligne qui permet de mesurer le défaut de lissité des k-groupes infinitésimalement saturés, et qui a nécessité d’adapter cette notion à un cadre plus large, en recourant aux isomorphismes de Springer. Un certain nombre de lemmes techniques sur les p-algèbres de Lie restreintes sont également démontrés dans les annexes de ce mémoire, afin d’obtenir les bons analogues des objets classiques de la caractéristique nulle au cadre de la caractéristique positive pour le plus grand éventail de caractéristiques possible

Moduli spaces are mathematical objects that often appear as solutions of classification problems. They permit to parametrise various entities, in general of geometric nature (such as curves or vector bundles), by means of an equivalence relation provided by considering the action of an algebraic group. This is the point of geometric invariant theory, first introduced by D. Mumford. In this setting, constructing quotients for a group scheme action on an algebraic scheme X is a recurring and natural question in algebraic geometry, as it allows to obtain moduli spaces of a certain type. Unfortunately, even when X is defined over a field (i.e. when X is an algebraic k-variety) a quotient of X for the group G need not exist in the category of algebraic varieties. Geometric invariant theory provides a Zariski open subset, the so-called semi-stable locus, such that a good quotient of the latter always exists for the G-action on it.This work study reductive group schemes in positive characteristic. When G is a reductive group scheme defined over a k-curve X, for k a field, several generalisation of the notion of (semi-)stability (whuch has been first established in the geometric invariant theory setting) naturally appear, depending on the context. They all require to associate a parabolic subgroup to G. If k is a field of characteristic 0, when these subgroups coexist (which depends on hypotheses on G), they are the same. In positive characteristic the situation is more complicated. This memoire provides a bound on the characteristic for which all these theory lead to the same parabolic object, and shows that this unique object is the parabolic subgroup provided by the Hilbert_Mumford-Kempf-Rousseau theory. This result requires to adapt some analogues, in characteristic p>0 of theorem of Morozov, stated in the characteristic zero framework, and which allows to characterise parabolic Lie subalgebras of a reductive group scheme in terms of their p-radical.A recent article of V. Balaji, P. Deligne and A.J Parameswaran established a first analogue of this result in characteristic p>0 under quite strong hypotheses on p and on the reductive k-group G. The proof of this results is based on the existence of an exponential map compatible with the adjoint representation between p-nil subalgebras of Lie(G) and unipotent subgroups og G. A. Premt and D. I. Stewart also recently obtained an analogue of Morozov theorem under weaker hypotheses. Their proof is based on a case-by-case analysis. In this manuscript I adapt tachniques developped by V. Balaji, P. Deligne and A.J Parameswaran to a more general framework, in order to obtain an anologue under slightly stronger hypotheses than A. Premet and D. I. Stewart. The proof I propose is uniform and allows an aditionnal characterisation of the object involved in terms of geometric invariant theory. The proof developped here required to generalise a result of P. Deligne, that allows to measure the lack of smoothness of infinitesimally saturated k-groups. This required to adapt the notion of infinitesimal saturation to a more general context, by means of Springer isomorphisms