Calcul de Schubert affine et formules de Pieri

Affine Schubert calculus and Pieri formulas

• Auteur / Autrice : Dimitry Kfoury
• Direction : Pierre-Emmanuel Chaput
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 04/12/2020
• Etablissement(s) : Université de Lorraine
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Élie Cartan de Lorraine (1997-.... ; Vandoeuvre-lès-Nancy, Metz)
• Jury : Président / Présidente : Nicolas Perrin
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Pierre-Emmanuel Chaput, Pierre Baumann, Stéphane Gaussent, Nicole Bardy, Lucas Fresse
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Pierre Baumann, Stéphane Gaussent

Mots clés

Mots clés contrôlés

Schubert, Variétés de

Groupe de Heisenberg

Variétés de drapeaux (géométrie)

Variétés algébriques

Grassmann, Variétés de

Mots clés libres

Formule de Pieri

Grassmannienne affine

Variété de drapeaux

Groupe de Weyl

Coefficients de Littlewood-Richardson

Classe de Schubert

Pieri's formulas

Affine Grassmannian

Flag Variety

Weyl groups

Littlewood-Richardson coefficients

Schubert Classe

Résumé

Les formules de Pieri sont des formules qui permettent de comprendre la structure d'algèbre de cohomologie de la Grassmannienne (affine) ou même celle des variété de Drapeaux. Plusieurs sont déjà établies dans quelques types et cas particuliers. Cependant ce problème reste encore ouvert pour la plupart des cas affines, en particulier pour trouver des formules de Pieri dans "H^*(\mathcal{G}r_G)" en types "B", "C" et "D".Dans cette thèse, même si on généralise quelques résultats pour un groupe de Weyl affine non-tordu général, on explore principalement les types A et C.Dans la variété de drapeaux de type A affine, on trouve une formule pour la multiplication, dans l'algèbre de cohomologie d'une variété de drapeaux, d'un élément de la base "\xi^w" par un autre (spécial) qu'on appellera ''crochet''. On montre ce résultat en utilisant la formule de Pieri donnée par Lam et al dans \cite{insertion}.En type C affine, on propose une conjecture pour une formule de Pieri en Cohomologie, en montrant qu'elle est valide en degré 1 et ''presque'' tous les cas du degré 2. On la vérifie aussi, en testant de nombreux exemples à l'aide de l'ordinateur.En Homologie, on redémontre, en utilisant une nouvelle stratégie simplifiée, la formule de Pieri en type C \cite{lam2010schubert}. Cette nouvelle approche pourrait éventuellement être utilisée dans le but d'établir des formules en types exceptionnels.Dans les variétés de drapeaux de dimension finie, on trouve aussi une majoration des coefficients de Littlewood-Richardson et on la généralise, en tout type, pour des classes particulières qu'on appellera ''petites classes de Schubert''.

Pieri's formulas are a gateway to understanding the algebra structure of the (affine) Grassmannian or even that of Flag varieties. Several are already established in a few particular types and cases. However, this problem remains open for most affine cases, especially to find Pieri formulas in "H (\mathcal{G}r_G)" in types "B", "C" and "D".In this thesis, even if some results are generalized for non-twisted affine Weyl groups, we mainly explore types A and C. In the flag variete of affine type A, we find a formula for multiplying, in the cohomology algebra of a flag variety, one element of the base "\xi^w" by another (special) element that will be called ''crochet''. This result is shown using the Pieri formula given by Lam et al in \cite{insertion}. In the affine Type "C", we propose a conjecture for a Pieri formula in Cohomology, showing that it is valid in degree "1" and "almost" all cases of degree "2". It is also checked, by testing many examples using the computer.In Homology, the Pieri formula in type C \cite{lam2010schubert}, is re-demonstrated, using a new simplified strategy. This new approach could eventually be used to establish formulas of exceptional types.In the finite dimensional flag varieties, we find an upper bound for the littlewood-Richardson's coefficients and generalize it, in all types, to particular classes that will be called ''small Schubert classes''.