Théorèmes d'Erdös-Wintner effectifs

Effective Erdös-Wintner theorems

• Auteur / Autrice : Johann Verwee
• Direction : Gérald Tenenbaum, Michael Drmota
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 20/11/2020
• Etablissement(s) : Université de Lorraine en cotutelle avec Technische Universität Wien
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine (1992-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Élie Cartan de Lorraine (1997-.... ; Vandoeuvre-lès-Nancy, Metz)
• Jury : Président / Présidente : Thomas Stoll
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Gérald Tenenbaum, Michael Drmota, Bruno Martin, Peter J. Grabner, Roswitha Hofer, Reinhard Winkler
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Bruno Martin, Peter J. Grabner

Mots clés

Mots clés contrôlés

Nombres complexes

Théorie des nombres

Distribution (théorie des probabilités)

Fonctions additives

Mots clés libres

Fonction additive

Loi de répartition limite

Fonction q-additive

Fonctions multiplicatives

Additive functions

Law of distribution

Q-additive functions

Multiplicative functions

Résumé

Les entiers naturels se prêtent à de multiples formes de représentation. Parmi les plus fondamentales figurent la décomposition en facteurs premiers et l’écriture dans une base de numération. La littérature s’est donc naturellement intéressée aux morphismes associés, autrement dit aux fonctions arithmétiques qui respectent les structures sous-jacentes. Les fonctions additives transportent la structure multiplicative de N vers la structure additive de C ; les fonctions q-additives transportent la représentation q-adique vers cette même structure additive du corps des nombres complexes. Le célèbre théorème d’Erdös-Wintner apporte une réponse complète à la question de l’existence d’une loi de répartition limite pour les fonctions additives. Des énoncés analogues ont été établis pour d’autres systèmes de numération, comme les représentations q-adiques ou associées à une base de Cantor à chiffres bornés. Une version partielle est connue dans le cas de la représentation dans la base de Zeckendorf. Dans ce travail nous nous proposons d’une part de compléter ce dernier énoncé et, d’autre part, d'établir des versions effectives des théorèmes précités.

Natural integers lend themselves to multiple forms of representation. Among the most fundamental are prime factors decomposition and representation in a numeral system. The literature has there- fore naturally been interested in associated morphisms, that is, arithmetic functions that respect the underlying structures. Additive functions transport the multiplicative structure of N∗ to the additive structure of C; additive q-additive functions transport the q-adic representation to this same additive structure of the complex number field. The famous Erd˝os-Wintner theorem provides a complete answer to the question of the existence of a limit distribution law for additive functions. Analogous statements have been established for other representation systems, such as q-adic or Cantor representations. A partial version is known for the representation in the Zeckendorf base. In this work we propose on the one hand to complete this last statement and, on the other hand, to establish effective versions of the above theorems.