Une méthode de décomposition de domaine pour la résolution numérique d’une équation non-linéaire

A domain decomposition method for the numerical resolution of a nonlinear equation

• Auteur / Autrice : Nahed Naceur
• Direction : Jean-Rodolphe Roche, Moez Khenissi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 03/12/2020
• Etablissement(s) : Université de Lorraine en cotutelle avec Université de Sousse (Tunisie)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine (1992-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Élie Cartan de Lorraine (1997-.... ; Vandoeuvre-lès-Nancy, Metz)
• Jury : Président / Présidente : Hatem Zaag
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jean-Rodolphe Roche, Moez Khenissi, Saloua Aouadi, Michel Mehrenberger, Sana Ben Hadj Amor, Julie Valein
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Saloua Aouadi, Michel Mehrenberger

Mots clés

Mots clés contrôlés

Newton, Méthode de

Équations différentielles paraboliques

Éléments finis, Méthode des

Décomposition de domaines (mathématiques)

Équations aux dérivées partielles -- Solutions numériques

Mots clés libres

Équations aux dérivées partielles semi-linéaires

Méthode de décomposition de domaine

Éléments finis

Méthode de Newton

Équation de Fujita

Équation de Chipot-Weissler

Explosion en temps fini

Quasi-linear partial differential equations

Domain decomposition method

Finite elements

Newton’s method

Fujita equation

Chipot-Weissler equation

Blow up in a finite time

Résumé

Cette thèse porte sur l’analyse théorique et la résolution numérique d’un type d’équations semi-linéaires elliptiques et paraboliques. Ces équations sont souvent utilisées pour modéliser des phénomènes dans la dynamique de la population et les réactions chimiques. On a commencé cette thèse par l’étude théorique d’une équation elliptique semi-linéaire dont on a démontré l’existence d’une solution faible non négative sous des hypothèses plus générale que celles considérées dans des précédents travaux. Puis on a présenté une nouvelle méthode basée sur la méthode de Newton et la méthode de décomposition de domaine sans et avec recouvrement. Ensuite, on a rappelé quelques aspects théoriques concernant l’existence, l’unicité ainsi que la régularité de la solution d’une équation parabolique appelée équation de type Fujita. On a rappelé aussi des résultats sur l’existence de la solution globale et sur le temps maximal d’existence dans le cas d’explosion. Afin de calculer une approximation numérique de la solution de ce type d’équation, on a introduit une discrétisation en éléments finis dans la variable en espace et un schéma de Crank-Nicholson pour la discrétisation en temps. Pour résoudre le problème non linéaire discret on a implémenté une méthode de Newton couplée avec une méthode de décomposition de domaine. On a démontré que la méthode est bien posée. On a également traité un autre type d’équation parabolique dit équation de Chipot-Weissler. En premier, on a rappelé des résultats théoriques concernant cette équation. Puis, en se basant sur les méthodes numériques étudiées précédemment on a calculé une approximation numérique de la solution de cette équation. Dans la dernière section de chaque chapitre de cette thèse on a présenté des simulations numériques illustrant les performances des algorithmes étudiés et la cohérence des résultats avec la théorie.

The subject of this thesis is to present a theoretical analysis and a numerical resolution of a type of quasi-linear elliptic and parabolic equations. These equations present an important role to model phenomena in population dynamics and chemical reactions. We started this thesis with the theoretical study of a quasi-linear elliptical equation for which we demonstrated the existence of a weak non-negative solution under more general hypotheses than those considered in previous works. Then we inspired a new method based on Newton’s method and the domain decomposition method without and with overlapping. Then, we recalled some theoretical aspects concerning the existence, the uniqueness and the regularity of the solution of a parabolic equation called Fujita equation. We also recalled results about the existence of the global solution and the maximum time of existence in the case of blow-up. In order to calculate a numerical approximation of the solution of this type of equation, we introduced a finite element discretization in the space variable and a Crank-Nicholson scheme for the time discretization. To solve the discrete nonlinear problem we implemented a Newton’s method coupled with a domain decomposition method. We have shown that the method is well posed. Another type of parabolic equation known as the Chipot-Weissler equation has also been treated. First, we recalled theoretical results concerning this equation. Then, based on the numerical methods studied previously, a numerical approximation of the solution of this equation was calculated. In the last section of each chapter of this thesis we presented numerical simulations illustrating the performance of the algorithms studied and its compatibility with the theory.