Quelques problèmes d'optimisations de forme autour de la géométrie des oeufs de Branchiopodes

Shape Optimisation Problems Around the Geometry of Branchiopod Eggs

• Auteur / Autrice : Alexandre Delyon
• Direction : Antoine Henrot, Yannick Privat
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 29/10/2020
• Etablissement(s) : Université de Lorraine
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Élie Cartan de Lorraine (1997-.... ; Vandoeuvre-lès-Nancy, Metz)
• Jury : Président / Présidente : Antoine Lemenant
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Antoine Henrot, Yannick Privat, Jimmy Lamboley, María A. Hernández Cifre, Nicolas Rabet, Matthieu Fradelizi
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jimmy Lamboley, María A. Hernández Cifre

Mots clés

Mots clés contrôlés

Élasticité linéaire

Analyse fonctionnelle

Optimisation convexe

Géométrie convexe

Développement des formes (biologie)

Branchiopodes

Mots clés libres

Biologie

Eulimnadia

Optimisation de forme

Géométrie convexe

Analyse convexe

Analyse fonctionnelle

Calcul des variations

Élasticité linéaire

Biology

Eulimnadia

Shape optimisation

Convex geometry

Convex analysis

Functional analysis

Calculus of variations

Linear Elasticity

Résumé

Dans cette thèse nous nous intéressons à un problème de mathématiques appliquées à la biologie. Le but est d'expliquer la forme des œufs d'Eulimnadia, un petit animal appartenant à la classe des Branchiopodes, et plus précisément les Limnadiides. En effet, d'après la théorie de l'évolution il est raisonnable de penser que la forme des êtres vivants où des objets issus d'êtres vivants est optimisée pour garantir la survie et l'expansion de l'espèce en question. Pour ce faire nous avons opté pour la méthode de modélisation inverse. Cette dernière consiste à proposer une explication biologique à la forme des œufs, puis de la modéliser sous forme d'un problème de mathématique, et plus précisément d'optimisation de forme, que l'on cherche à résoudre pour enfin comparer la forme obtenue à la forme réelle des œufs. Nous avons étudié deux modélisations, l'une amenant à des problèmes de géométrie et de packing, l'autre à des problèmes d'optimisation de forme en élasticité linéaire. Durant la résolution du premier problème issue de la modélisation, une autre question mathématique s'est naturellement posée à nous, et nous sommes parvenus à la résoudre, donnant lieu à l'obtention du diagramme de Blaschke Santalo (A,D,r) complet. En d'autre mots nous pouvons répondre à la question suivante : étant donné trois nombres A,D, et r positifs, est-il possible de trouver un ensemble convexe du plan dont l'aire est égale à A, le diamètre égal à D, et le rayon du cercle inscrit égal à r ?

In this thesis we are interested in a problem of mathematics applied to biology. The aim is to explain the shape of the eggs of Eulimnadia, a small animal belonging to the class Branchiopods}, and more precisely the Limnadiidae. Indeed, according to the theory of evolution it is reasonable to think that the shape of living beings or objects derived from living beings is optimized to ensure the survival and expansion of the species in question. To do this we have opted for the inverse modeling method. The latter consists in proposing a biological explanation for the shape of the eggs, then modeling it in the form of a mathematical problem, and more precisely a shape optimisation problem which we try to solve and finally compare the shape obtained to the real one. We have studied two models, one leading to geometry and packing problems, the other to shape optimisation problems in linear elasticity. After the resolution of the first modeling problem, another mathematical question naturally arose to us, and we managed to solve it, resulting in the complete Blaschke-Santalò (A,D,r) diagram. In other words we can answer the following question: given three positive numbers A,D, and r, and it is possible to find a convex set of the plane whose area is equal to A, diameter equal to D, and radius of the inscribed circle equal to r.